第1章 1.1 第1课时 集合的含义（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．1　集合的概念 第1课时　集合的含义 学习目标 1.通过实例，了解集合与元素的含义，能够利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题． 2．理解元素与集合的属于关系． 3．识记常见数集的表示符号． 知识点一　元素与集合 请将以上物品整理摆放： 文具类：_______________________________________________________________. 食品类：_______________________________________________________________. 元素 定义 把研究对象统称为元素 记法 常用小写拉丁字母a，b，c，…表示 集合 定义 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集 记法 常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的 集合中元素的特性 确定性、互异性和无序性 (1)确定性：即某个对象是否是集合的元素是确定的． (2)互异性：即一个集合中任意两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的． [练1](2025·驻马店高一检测)下列元素的全体能构成集合的是 (　　) A.某电视台著名节目主持人 B.高中学生中的游泳能手 C.中国古代四大发明 D.sin 60°，tan 45°，cos 30° C　解析：根据题意，依次分析选项， 对于A，某电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于B，高中学生中的游泳能手，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于C，中国古代四大发明：指南针、火药、造纸术、印刷术，可以构成集合； 对于D，sin 60°＝cos 30°，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合．故选C. [练2]已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2.若P＝Q，则a的值为________． 答案：±2　解析：因为P＝Q，所以两个集合中的元素一样，即a2＝4，所以a＝±2. 判断一组对象能否组成集合的关键点 (1)看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合. (2)看集合中元素是否满足互异性． 知识点二　元素与集合的关系 把1～10之间的所有偶数构成的集合记为A，那么2，5，7与集合A有什么关系？ 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a∈A a属于 集合A 不属于 a不是集合 A中的元素 a∉A a不属于 集合A 2.常用数集及其符号表示 数集 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写； (2)0属于自然数集． [例1] (1)(2025·武昌高一期中)下列关系中不正确的是 (　　) A．0∈N B．π∉R C．∈Q D．－3∉N (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为 (　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B　(2)B　解析：(1)因为0是自然数，故A正确；因为π是实数，故B错误；因为是有理数，故C正确；因为－3不是自然数，故D正确． (2)当a＝2时，a＝2∈A，6－a＝4∈A；当a＝4时，a＝4∈A，6－a＝2∈A；当a＝6时，a＝6∈A，6－a＝0∉A.故a＝2或a＝4. 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素组成的，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． [练3](多选)下列结论正确的是 (　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R BCD　解析：当a＝0时，A项显然不成立． 综合应用：集合中元素的性质 [例2] 已知集合A有三个元素a2－3a，2a＋1，5，且－2∈A，求实数a的值． 解：因为－2∈A，所以2a＋1＝－2或a2－3a＝－2. 若2a＋1＝－2，则a＝－，此时集合A中含有三个元素－2，5，，符合题意； 若a2－3a＝－2，则a＝1或a＝2. 当a＝1时，集合A中含有三个元素3，5，－2，符合题意； 当a＝2时，集合A中含有重复元素5，不符合题意，舍去． 所以a＝1或a＝－. [变式探究] 若将本例中“－2∈A”改为“0∈A”，求实数a的值． 解：由0∈A，得2a＋1＝0或a2－3a＝0， 若2a＋1＝0，则a＝－，a2－3a＝，此时集合A中有三个元素5，0，，符合题意； 若a2－3a＝0，则a＝0或a＝3， 当a＝0时，2a＋1＝1，此时集合A中有三个元素5，0，1，符合题意， 当a＝3时，2a＋1＝7，此时集合A中也有三个元素5，0，7，符合题意， 所以a＝－或a＝0或a＝3. 求集合中参数的关注点 已知元素与集合的关系求参数时，要注意集合中元素互异性的要求，求得参数值后要代入原集合检验． [练4](2025·保定高一期中)已知集合A中有三个元素1，a，a－2，且3∈A，则实数a的值为 ________． 答案：5　解析：3∈A，当a＝3时，a－2＝1，不满足集合元素的互异性，不满足题意；当a－2＝3时，a＝5，集合A中的三个元素为1，5，3，满足题意．故实数a的值为5. 1．知识清单 (1)元素与集合的概念； (2)集合中元素的特性； (3)元素与集合的关系； (4)常用数集及其符号． 2．方法归纳：直接法、推理法． 3．常见误区：自然数集中容易遗漏0这个元素． ◎随堂演练 1．(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　　) A．拥有手机的人 B．2025年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 ACD　解析：根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A，C，D中的元素都是确定的，故选项A，C，D能构成集合，但选项B中“难题”的标准不明确，不能构成集合．故选ACD. 2．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 答案：3　解析：方程x2－5x＋6＝0的解是x＝2，3；方程x2－x－2＝0的解是x＝－1，2.由集合元素的互异性可知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素． 3．若集合A是由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2是不是集合A中的元素． 解：因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝－2，b＝2，可得－6＋2，所以－6＋2是集合A中的元素． 学科网（北京）股份有限公司 $$