第4章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（课件PPT）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

指数函数与对数函数 4．1　指　数 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 第四章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.通过对实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 2．结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　无理数指数幂及其运算 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的____．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2．实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R). (2)(ar)s＝ ____(a＞0，r，s∈R). (3)(ab)r＝____ (a＞0，b＞0，r∈R). 实数 ars arbr 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 无理数指数幂的运算思路 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)无理数指数幂的运算； (2)实际问题中的指数运算； (3)实数指数幂的综合运用． 2．方法归纳：整体代换法． 3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（27） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 根据的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ (1)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). (2)特别强调底数“a>0”．如果a<0，比如(－1)，无法判断其值是1还是－1. [例1] 已知10＝a，10＝b，10＝c.求103 -2 ＋的值． [练1] 由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(≈1.732 050 8) (　　) ①21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，…； ②21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，…. A．21.7 B．21.8 C．2 D．4 由于的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.732 0，1.732 05，…，的过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.732 1，1.732 06，…，所以由①②两串有理数指数幂所逼近得到的数为2 . [练2] 计算：3π×()π＋(22 )＋1 的值为 (　　) A．17 B．18 C．6 D．5 3π×()π＋(22 )＋1 ＝(3×)π＋22 ×＋1＝1π＋24＋1＝18. 知识点二　实际问题中的指数运算 [例2] (2024·宁波高一期末)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a%的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的 (　　) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 设植物原来的长度为m，经过4周后，该植物的长度为原来的倍，即m(1＋a%)4＝m，即(1＋a%)4＝，即1＋a%＝()， 再经过6周后该植物的长度为m(1＋a%)10＝m·[()]10＝m·()＝m·×＝m.因此，再经过6周，该植物的长度大约是原来的倍． 指数运算在实际问题中的应用策略 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等. [练3] 一张报纸，其厚度为0.1 mm，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为 (　　) A．2.56 cm B．5.12 cm C．10.24 cm D．20.48 cm 0.01×210＝10.24(cm). 综合应用：实数指数幂的综合应用 [例3] 已知a＋a－＝，求下列各式的值． (1)a＋a-1；(2)a2＋a-2；(3)a2－a-2. (1)将a＋a－＝两边平方， 得a＋a-1＋2＝5，即a＋a-1＝3. (2)将a＋a-1＝3两边平方，得a2＋a-2＋2＝9， ∴a2＋a-2＝7. (3)令y＝a2－a-2，两边平方，得y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a-2＝±3. [变式探究] 已知a－a－＝m，求本例中(1)(2)的值． (1)将a－a－＝m两边平方， 得a＋a-1－2＝m2，∴a＋a-1＝m2＋2. (2)将a＋a-1＝m2＋2两边平方， 得a2＋a-2＋2＝(m2＋2)2，∴a2＋a-2＝m4＋4m2＋2. 条件求值的步骤 [练4] (2025·福州高一期中)已知10m＝2，10n＝3，则10＝________． 答案：　 依题意103m-2n＝＝＝＝，所以10＝＝. ◎随堂演练 1．计算(π )－的结果是 (　　) A .π B． C．－π D． 2．已知x＋x－＝5(x>0)，那么x＋x－＝ (　　) A． B．－ C．± D．7 (x＋x－)2＝x＋x－＋2＝5＋2＝7.又x>0，故x＋x－＝. 3．(2025·嘉定区高一期末)已知2x＝3，2y＝5，求22x＋的值． 2x＝3，2y＝5， 则22x＋＝(2x)2·(2y)＝9×＝9. $$