第3章 3.1.1 第2课时 函数的概念(二)（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第2课时　函数的概念(二) 第三章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.会判断两个函数是否为同一个函数． 2．能正确使用区间表示数集． 3．会求一些简单函数的定义域、函数值． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　区间及相关概念 1．一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 数集 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ______ {x|a<x<b} 开区间 ______ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ______ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ______ [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2.实数集R的区间表示 实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． (－∞，＋∞) 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 3．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} __________ {x|x>a} __________ {x|x≤b} _________ {x|x<b} __________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (1)区间只能表示连续的数集，开闭区间不能混淆； (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立； (4)∞是一个符号，而不是一个数． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1]把下列数集用区间表示． (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练2]已知集合A＝{x|5－x≥0}，集合B＝{x||x|－3≠0}，用区间表示集合A∩B. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点二　同一个函数 同一个函数 (1)前提条件：①定义域____； ②对应关系____． (2)结论：这两个函数为同一个函数． 相同 相同 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 BCD 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 判断两个函数是否为同一个函数的方法 一看定义域是否相同； 二看对应关系是否完全一致． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．求函数定义域的注意点 要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. 2．求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 抽象函数的定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即所求定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即所求定义域． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)区间的表示； (2)求简单函数的定义域和函数值； (3)判断是否为同一个函数； (4)求抽象函数的定义域． 2．方法归纳：整体代换． 3．常见误区：整体代换的思想求抽象函数的定义域． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 ◎随堂演练 1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是(　　) A.(－2，0) B.(－∞，－2]∪[0，＋∞) C.(－∞，－2)∪[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪(0，＋∞) C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 集合{x|x<－2或x≥0}可表示为 (－∞，－2)∪[0，＋∞). 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 选项A，B及D中对应关系都不同，故都不是同一个函数． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（18） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (1){x|x≥－1}用区间表示为[－1，＋∞). (2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0). (3){x|－1<x<1}用区间表示为(－1，1). (4){x|0<x<1或2≤x≤4}用区间表示为(0，1)∪[2，4]. ∵A＝{x|5－x≥0}，∴A＝{x|x≤5}， ∵B＝{x||x|－3≠0}，∴B＝{x|x≠±3}， ∴A∩B＝{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}， 即A∩B＝(－∞，－3)∪(－3，3)∪(3，5]. [例1] (多选)(2025·青岛高一期中)下列各组函数不是同一个函数的是 (　　) A.f(x)＝x2－2x－1，g(m)＝m2－2m－1 B.f(x)＝1，g(x)＝x0 C.f(x)＝，g(x)＝· D.f(x)＝x，g(x)＝ 对于A项，两个函数定义域都为R，对应关系相同，只是表示自变量的符号不同，A项是同一个函数；对于B项，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为非零实数集，不是同一个函数；对于C项，函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，而g(x)的定义域为[1，＋∞)，不是同一个函数；对于D项，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为非零实数集，不是同一个函数． [练3](2025·贵阳高一期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是 (　　) A.f(x)＝x2，g(x)＝()4 B.f(x)＝x－1，g(x)＝ C.f(x)＝x，g(x)＝ D.f(x)＝|x|，g(t)＝ 对于A，函数f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数f(x)＝x－1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数g(x)＝＝|x|与函数f(x)＝x的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 知识点三　求函数的定义域和函数值 [例2] (1)函数f(x)＝－的定义域为________． (2)已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＝__________________； 当a≠－1时，f(a＋1)＝________． 答案：(1)[1，＋∞)　(2)　a＋1＋ (1)要使f(x)有意义，则 解得x≥1，所以f(x)的定义域为[1，＋∞). (2)f(2)＝2＋＝.当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋. [练4](2025·合肥高一检测)函数f(x)＝的定义域为________． 答案：[－4，－)∪(－，1]　 函数f(x)＝有意义，需满足 解得－4≤x≤1且x≠－，故函数f(x)＝的定义域为[－4，－)∪(－，1]. [练5](2025·武汉高一检测)设f(1－2x)＝1－，则f(2)＝________． 答案：5　 由1－2x＝2解得x＝－，所以f(2)＝1－＝1＋4＝5. 综合应用：抽象函数的定义域问题 [例3] 函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域为________． 答案：[－1，1]　 令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定义域为[－1，1]. [变式探究] 本例变为：函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是什么？ 由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定义域是[－5，13]. [练6](2025·广州高一期末)已知函数f(2x－1)的定义域为(1，2)，则函数f(x＋1)的定义域为 (　　) A.(0，2) B．(1，2) C.(1，3) D．(0，3) ∵函数f(2x－1)的定义域为(1，2)，∴1＜2x－1＜3，即函数f(x)的定义域为(1，3).∴函数f(x＋1)的定义域需满足1＜x＋1＜3，即0＜x＜2，函数f(x＋1)的定义域为(0，2). 2．下列各组函数表示同一个函数的是 (　　) A.f(x)＝与g(x)＝x＋3(x≠3) B.f(x)＝－1与g(x)＝x－1 C.f(x)＝x0(x≠0)与g(x)＝1(x≠0) D.f(x)＝2x＋1，x∈Z与g(x)＝2x－1，x∈Z 3．函数y＝的定义域是________． $$