第2章 一元二次函数、方程和不等式 阶段复习（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 一元二次函数、方程和不等式 第二章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 考点一　不等式及其性质 不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B [练1] 已知a，b满足等式x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x，y的大小关系是 (　　) A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练2](2025·上海松江区期末)英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是 (　　) A．若a2<b2，则a<b B．若a<b，则ac<bc C.若a<b，c<d，则ac<bd D．若a<b，c<d，则a＋c<b＋d D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 对A：因为a2<b2，可能b<a<0，故错误； 对B：当c<0时，若a<b，则ac>bc，故错误； 对C：当a<b<0，c<d<0时，则ac>bd，故错误； 对D：若a<b，c<d，则a＋c<b＋d，故正确． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 考点二　基本不等式及应用 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练5] (2025·通化高一期末)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，则a＋b的最小值是 (　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 考点三　一元二次不等式的解法 1．解不含参数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，不能分解因式的利用三个二次的关系，从而得到不等式的解集． 2．解含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练6]一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，那么ax2－bx＋c>0的解集为 (　　) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图象相结合； (2)分离参数法； (3)转化为最大(小)值问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练8] 函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当－2≤x≤2时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 考点五　解实际应用问题解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练9](2025·广州高一期末)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围？ (2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 阶段质量检测（二） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 因为x－y＝a2＋b2＋20－4(2b－a)＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，所以x≥y. [练3] 若α，β满足－＜α＜，－＜β＜，则2α＋β的取值范围是 (　　) A．－π<2α＋β<0 B．－π<2α＋β<π C．－<2α＋β< D．－<2α＋β< ∵α，β满足－＜α＜，－＜β＜， ∴－π＜2α＜π，∴－＜2α＋β＜，故选D. [练4] 已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. 方法一　因为正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，即ab＋a＋b＋1＝9， 所以(a＋1)(b＋1)＝9，则a＋b＝a＋1＋b＋1－2≥2－2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．故选C. 方法二　因为正实数a，b满足ab＋a＋b＝8， 所以8＝ab＋a＋b≤()2＋a＋b，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b的最小值是4. 因为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}， 所以ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－2，x2＝3，且a<0， 由得代入ax2－bx＋c＞0得ax2＋ax－6a>0， 即x2＋x－6<0，解得－3<x<2，故选D. [练7]已知y＝(a∈R). (1)若关于x的不等式y＜1的解集为{x|－1＜x＜4}，求a的值； (2)解关于x的不等式y＞0. (1)由y＜1，得＜1，即－1＜0，即＜0， 等价于[(a－1)x－4](x＋1)＜0，由题意得＝4，则a＝2. (2)y＞0，即＞0，即(ax－3)(x＋1)＞0， ①当a＝0时，不等式即为－3(x＋1)＞0， 则x＜－1， 此时原不等式的解集为{x|x＜－1}； ②当a＜0时，不等式即为(x－)(x＋1)＜0. 若a＜－3，则＞－1，所以－1＜x＜，此时原不等式的解集为{x|－1＜x＜}； 若a＝－3，则＝－1，不等式为(x＋1)2＜0，x不存在，此时原不等 式的解集为∅； 若－3＜a＜0，则＜－1，所以＜x＜－1，此时原不等式的解集为{x|＜x＜－1}． ③当a＞0时，不等式即为(x＋1)(x－)＞0，此时原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}． 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}； 当a＜－3时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}； 当a＝－3时，不等式的解集为∅； 当－3＜a＜0时， 不等式的解集为{x|＜x＜－1}； 当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}． 考点四　一元二次不等式恒成立问题 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 对于含参数的不等式恒成立问题要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． (1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}． (2)对于任意－2≤x≤2，y≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意－2≤x≤2恒成立．令y1＝x2＋ax＋3－a，当x＝－2时，y1＝7－3a；当x＝2时，y1＝7＋a.则有 ①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6. 综上可知，实数a的取值范围为{a|－7≤a≤2}． (1)设DN的长为x(x＞0)m， 则|AN|＝(x＋2)m， 因为＝，所以|AM|＝， 所以矩形AMPN的面积为 |AN|·|AM|＝， 由＞32，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜或x＞6， 所以DN的长的取值范围是{x|0＜x＜或x＞6}． (2)矩形花坛的面积为y＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3x＝，即x＝2时，等号成立，所以当DN的长为2 m时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24 m2. $$