第2章 习题课 基本不等式的综合应用（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 习题课　基本不等式的综合应用 第二章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　利用基本不等式比较大小 ACD 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1](2025·郑州高一期中)已知a，b都是正数，则下列关系正确的是 (　　) C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)利用基本不等式比较大小； (2)利用基本不等式求参数的值或范围； (3)巧用常数代换求最值问题． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（14） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [例1] (多选)(2025·滁州高一期中)设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)(＋)≥4 因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b，2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A正确； 因为a＋b≥2＞0，所以≤，当且仅当a＝b时，等号成立，所以≥不一定成立，故B错误； 因为≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时，等号成立， 所以≥，所以≥a＋b，故C正确； 因为(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确． 运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. A．≤≤≤ B．≤≤≤ C．≤≤≤ D．≤≤≤ 由基本不等式可得≤，＝≤＝，∵a2＋b2≥2ab， ∴2≥(a＋b)2，∴≥2， ∴≤， 综上可得≤≤≤.故选C. 知识点二　利用基本不等式求参数的值或范围 [例2] (1)已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. (2)若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是____________. 答案：(1)36　(2)a≥　 (1)因为x>0，a>0，所以y＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时，y＝4x＋取得最小值，又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. (2)因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，所以有＝≤＝， 即的最大值为，故a的取值范围是a≥. 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． [练2](2025·鄂尔多斯高一期中)若存在正实数x，y满足＋＝1，且使不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是 (　　) A．{m|－4＜m＜1} B．{m|－1＜m＜4} C．{m|m＜－4或m＞1} D．{m|m＜－1或m＞4} 因为x>0，y>0且＋＝1， 所以x＋＝·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x＝8时等号成立，所以m2－3m>4，解得m<－1或m>4.故选D. 知识点三　“常数代换法”求最值问题 [例3] 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． ∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16， 当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，等号成立． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. [变式探究1] 若将条件换为x＞0，y＞0，且x＋y＝1，试求＋的最小值． ＋＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当9x2＝y2，即x＝，y＝时，等号成立， ∴＋的最小值为16. [变式探究2] 若将条件换为x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x－8＋＋8＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立， ∴x＋y的最小值是18. 方法二　∵x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，∴＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝8＋＋＋2≥10＋2＝18. 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时，等号成立， ∴x＋y的最小值是18. 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时，等号成立， ∴x＋y的最小值是18. “常数代换法”解题的关键点 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． [练3](2025·唐山高一检测)已知正实数a，b满足2a＋b－9ab＝0，则a＋2b的最小值为 (　　) A．3 B．1 C．9 D． 因为2a＋b－9ab＝0，变形得＋＝9. 由题意a＋2b＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，即a＋2b的最小值为1. ◎随堂演练 1．已知0<a<b<1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是 (　　) A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P 因为0<a<b<1，所以>，即P＞Q，又<，即P＜M，故M>P>Q. 2．(2025·大同高一检测)若＋＝1(x>0，y>0)，则2x＋3y的最小值为 (　　) A．16 B．20 C．24 D．25 因为正数x，y满足＋＝1， 所以(2x＋3y)·(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当时，即当x＝y＝5时，等号成立， 故2x＋3y的最小值为25. 3．已知实数x，y满足x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是________． 答案：8　 因为x＋y＝4， 所以xy≤2＝2＝4， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥16－2×4＝8， 所以x2＋y2的最小值为8. $$