第2章 微专题2 一元二次不等式中的恒成立、能成立问题（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 微专题二　一元二次不等式中的恒成立、能成立问题 第二章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1](2025·郑州高一期末)设x∈R，不等式ax2＋2ax－3＜0恒成立的一个充分条件可以是 (　　) A．－3＜a＜0 B．－3≤a＜0 C．－3＜a＜1 D．－3≤a＜1 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 二、在给定范围上的恒成立问题 [例2] 已知函数y＝mx2－mx－1，若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 一、在R上的恒成立问题 [例1] 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式ax2＋2ax－3＜0对x∈R恒成立，当a＝0时，－3＜0恒成立；当a≠0时，ax2＋2ax－3＜0对x∈R恒成立只需解得－3＜a＜0.综上可得当不等式ax2＋2ax－3＜0对x∈R恒成立时，a∈{a|－3＜a≤0}，而{a|－3＜a＜0}⊆{a|－3＜a≤0}，故由A选项可以推出题中不等式对x∈R恒成立． A．m≤0 B．0≤m< C．m<0或0<m< D．m< 由y<－m＋4，得m(x2－x＋1)<5， ∵1≤x≤3，∴1≤x2－x＋1≤7， ∴m(x2－x＋1)<5转化为m<， 又当x＝3时，取得最小值， ∴m<， ∴实数m的取值范围是m<，故选D. 解在给定范围上的恒成立问题的两种方法 (1)转化法 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求代数式的最值问题． (2)数形结合法 ①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. [练2]当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 令y＝x2＋mx＋4. ∵当1≤x≤2时，y<0恒成立， ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得 ∴∴实数m的取值范围是m＜－5. 三、不等式能成立或有解问题 [例3] 若存在x∈{x|2≤x≤4}，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为 (　　) A．{m|m＞13} B．{m|m＞5} C．{m|m＞4} D．{m|m＜13} m>x2－2x＋5，设y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，2≤x≤4，当x＝2时，ymin＝5，若∃2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>ymin，∴m>5.故选B. 一元二次不等式能成立问题的求解策略 解不等式能成立问题一般是转化为求代数式的最值问题，即m＞ax2＋bx＋c能成立⇒m＞(ax2＋bx＋c)min；m≤ax2＋bx＋c能成立⇒m≤(ax2＋bx＋c)max. [练3](2025·武汉四中高一月考)已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在0＜x≤2时有解，求实数m的取值范围． mx2－6x＋3m<0变形为m<＝， 故m<在0＜x≤2时有解， 因为0＜x≤2，所以x＋≥2， 则≤＝， 当且仅当x＝，即x＝时，等号成立， 所以m<. 则≤＝， 当且仅当x＝，即x＝时，等号成立， 所以m<. $$