第2章 2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 第二章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及实根的个数，了解二次函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　一元二次不等式 观察下列不等式： ①x2>0；②－x2－2x≤0；③x2－5x＋6>0. 1．以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 2．三个不等式在表达形式上有何共同特点？ 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 一元二次不等式 　一般地，我们把只含有____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是_____________或_____________，其中a，b，c均为常数，a≠0. 一个 2 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点二　一元二次不等式的解法 二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的______叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 实数x 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 {x|x＜x1，或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)一元二次不等式的概念及解法； (2)三个“二次”之间的关系及应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：利用三个“二次”的关系解题时忽视判断二次项系数的符号． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 ABD 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（15） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1] 已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－2y>0；③－x2－3x<0；④>0. 则其中为一元二次不等式的是________．(填序号) 答案：③　 ①当a＝0时不是一元二次不等式；②含有两个未知量；③符合一元二次不等式的定义；④是分式不等式． 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 无实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____________________________ ________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ______________________ __ __ 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _________________________ __________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ _____ _____ {x|x≠－} (1)若不等式对应的一元二次方程能因式分解，a＞0的情况下，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． [例1] 解下列不等式： (1)－2x2＋x－6＜0；(2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3＞0；(4)－4x2＋4x－1＞0. (1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1，0)和(3，0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}． (4)－4x2＋4x－1＞0等价于4x2－4x＋1＜0，且方程4x2－4x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，画出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图4所示．图象中没有满足4x2－4x＋1＜0的点，故原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般步骤 第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)； 第二步，求出相应的一元二次方程的根，或判断出方程没有实数根； 第三步，画出相应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中； 第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． [练2](2025·沈阳高一期中)不等式(x＋1)·(2－x)>0的解集是 (　　) A．{x|x<－1} B.{x|x<－1或x>2} C.{x|－1<x<2} D.{x|x>2} ∵不等式(x＋1)(2－x)>0可化为(x＋1)(x－2)<0，解得－1<x<2， ∴不等式的解集是{x|－1<x<2}． [练3](2025·四平高一检测)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|3x－x2>0}，则A∩B＝ (　　) A.{x|－2≤x<0} B．{x|－4≤x<0} C.{x|0<x≤2} D．{x|0<x≤3} 因为A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0<x<3}，所以A∩B＝{x|0<x≤2}，故选C. 综合应用：三个“二次”之间的关系 [例2] 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 由根与系数的关系， ∴不等式bx2＋ax＋1＞0，即2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0，解得x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为. 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. [练4](2025·齐齐哈尔高一检测)已知不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则a＋c＝ (　　) A.10 B．－5 C.－10 D．5 由题意得－和为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，且a<0，所以－＝－＋，＝－×，解得a＝－12，c＝2，所以a＋c＝－10. ◎随堂演练 1．(2025·大连高一期中)已知p：x2－2x<0，那么p的一个必要不充分条件是 (　　) A.0<x<1 B．－1<x<2 C.1<x<3 D．0<x<2 由x2－2x<0，解得0<x<2. 对于选项A，0<x<1⇒0<x<2，反之不能推出，所以0<x<1是p的一个充分不必要条件，故A错误； 对于选项B，0<x<2⇒－1<x<2，反之不能推出，所以－1<x<2是p的一个必要不充分条件，故B正确； 对于选项C，0<x<2不能推出1<x<3，反之也不能推出，所以1<x<3是p的一个既不充分也不必要条件，故C错误； 对于选项D，0<x<2是p的充要条件，故D错误． 2．(多选)(2025·黄石高一联考)下列说法正确的是 (　　) A.不等式x2－12x＋20>0的解集为{x|x<2或x>10} B.不等式x2－5x＋6<0的解集为{x|2<x<3} C.不等式9x2－6x＋1>0的解集为R D.不等式－2x2＋2x－3>0的解集为∅ 对选项A：不等式x2－12x＋20>0的解集为{x|x<2或x>10}，故A正确； 对选项B：不等式x2－5x＋6<0的解集为{x|2<x<3}， 故B正确； 对选项C：不等式9x2－6x＋1>0的解集为， 故C错误； 对选项D：不等式－2x2＋2x－3>0，即2＋<0，解集为∅，故D正确． 3．已知不等式ax2－x＋6>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式x2＋ax－6<0的解集为________． 答案：{x|－2<x<3}　 因为不等式ax2－x＋6>0的解集为{x|－3<x<2}，所以a<0且方程ax2－x＋6＝0的解为－3，2，则＝－1，所以a＝－1，则不等式x2＋ax－6<0即为不等式x2－x－6<0，解得－2<x<3，即不等式x2＋ax－6<0的解集为{x|－2<x<3}． 4．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12；(2)x2>2(x－1). (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0， 因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数根，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. $$