第2章 2.1 第2课时 等式的性质 不等式的性质（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 2．1　等式性质与不等式性质 第2课时　等式的性质　不等式的性质 第二章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.梳理等式的性质，掌握不等式的基本性质． 2．能运用这些不等式的性质解决有关问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (1)性质1　如果a＝b，那么b＝a； (2)性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 知识点一　等式的性质 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 小朋友问：“妈妈，你比我大多少岁啊？” 妈妈笑着回答道：“妈妈比你大25岁”，小朋友高兴地说：“再过25年我就和妈妈一样大了”． 小朋友的说法显然不对，你能从不等式的性质角度说明原因吗？ 知识点二　不等式的性质 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔______． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ ______ ． (3)可加性：a＞b⇔ __________ ． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ _______ ； a＞b，c＜0⇒ ________． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒ __________ ． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ _______ ． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ ______________________． b＜a a＞c a＋c＞b＋c ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd an＞bn＞0(n∈N，n≥2) 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (1)在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 利用不等式的性质判断的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 BCD 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 证 明 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 利用不等式的性质证明不等式的注意点 应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明，不能随便引用一些简易结论作为论证依据，否则会导致论证不严谨． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 证 明 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 求含有字母的代数式的取值范围时应注意的两点 (1)要注意题设中的条件； (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)等式的性质； (2)不等式的性质及其应用． 2．方法归纳：特值法、乘方比较法． 3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．若1<a<2，－1<b<3，则a－b的值可能是 (　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 ∵1＜a＜2，－1<b<3，∴－3<－b<1，∴－2<a－b<3.故选C. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 3．(2024·北京师范大学附属实验中学高一期中)已知a，b，c为实数，能说明“若a>b>c，则a2>bc”为假命题的一组a，b，c的值是________． 答案：a＝1，b＝－1，c＝－2(答案不唯一)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 当a＝1，b＝－1，c＝－2时，a2＝1，bc＝2， 此时满足a>b>c，但是a2<bc. 故答案可为a＝1，b＝－1，c＝－2(答案不唯一). 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 证 明 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（11） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (5)性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. [例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是 (　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 方法一　∵c2≥0，∴当c＝0时，有ac2＝bc2，故选项A为假命题； 由a>b>0，得ab>0⇒>⇒>，故选项B为假命题； ⇒>， 故选项C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故选项D为真命题． 方法二(特殊值排除法)　取c＝0，则ac2＝bc2，故选项A错误；取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故选项B错误；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故选项C错误，故选D. [练1](2025·重庆高一期末)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是 (　　) A．＜ B．＞ C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c| 对于A，若a＝1，b＝－2，满足a＞b，但＞，故A错误； 对于B，因为c2＋1≥1，a＞b，所以根据不等式的基本性质，得＞，故B正确； 对于C，若a＝1，b＝－2，满足a＞b，但a2＜b2，故C错误； 对于D，当c＝0时，0＝a|c|＝b|c|＝0，故D错误． [练2](多选)若a>b，c<0，则下列不等式不成立的是 (　　) A．ac2>bc2 B．> C．a＋c<b＋c D．a>b－c 对于A，因为c<0，所以c2>0，又因为a>b，故ac2>bc2，故A项正确；对于B，由于a>b，c<0，则<，故B项错误；对于C，由于a>b，c<0，则a＋c>b＋c，故C项错误；对于D，取a＝2，b＝1，c＝－3满足a>b，c<0，但a<b－c，故D项错误，故选BCD. 综合应用：不等式性质的应用 角度1　利用不等式性质证明不等式 [例2] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. 求证：＞. ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘，得＜. 又∵e＜0，∴＞. [练3]若a>b>0，d<c<0，求证：<. 因为d<c<0，所以－d>－c>0，dc>0. 因为a>b>0，所以－ad>－bc>0， 所以bc－ad>0，所以－＝>0，所以<. 角度2　利用不等式性质求范围 [例3] 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． ∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴－7＜a－b＜2. ∴8＜2a＋3b＜32，－7＜a－b＜2. [练4]已知－1<a<b<1，求a－b的取值范围． ∵－1<a<b<1，－1<b<1，－1＜a＜1， ∴－1<－b<1，∴－1－1<a－b<1＋1， 即－2<a－b<2，又∵a<b，∴a－b<0，∴－2＜a－b＜0. ◎随堂演练 1．与a>b等价的不等式是 (　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故选项A，B，C都不正确． 4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. 因为bd>0，bc－ad≥0， 所以≤， 所以＋1≤＋1， 所以≤. $$