第1章 1.4.2 充要条件（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 1．4.2　充要条件 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．理解数学定义与充要条件的关系，会判断一些简单的充要条件问题． 3．能对充要条件进行证明． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点　充要条件 1．已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数. 请判断p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 2．通过判断，你发现了什么？你能用数学语言概括出来吗？ 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______ ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____条件． p⇒q q⇒p p⇔q 充要 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 关系 图示 结论 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 A＝B p是q的充要条件 A，B互不包含 p是q的既不充分也不必要条件 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 判断充要条件的解题思路及方法 (1)解题思路：充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)方法：①定义法，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②推出法，使用双向推出法，不是单向推出法； ③集合法，判断相应的两个集合互为子集，即判断两个集合相等． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1](2025·上海嘉定区高一期末)若α：{2}⊆B⊆{2，3，4}，β：B＝{2，3，4}，则α是β的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 因为{2}⊆B⊆{2，3，4}， 所以B＝{2}，{2，3}，{2，4}，{2，3，4}， 故α是β的必要不充分条件．故选B. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练2](2025·呼和浩特高一联考)“x＝2”是“x2＝2x”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 由x2＝2x，解得x＝0或x＝2， 故“x＝2”是“x2＝2x”的充分不必要条件． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 综合应用：充要条件的探求与证明问题 [例2] 求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 证明充要条件的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练3]求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根，设为x0， 由②得k＝－x－x0，代入①得x＝1，解得x0＝1. 因此，k＝－2. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1； x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2，两方程有公共实数根1. 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件为k＝－2. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明； (3)充要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：条件和结论辨别不清． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 ◎随堂演练 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A.充要条件 B．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．三个数a，b，c不全为零的充要条件是 (　　) A.a，b，c都不是零 B.a，b，c中至多有一个是零 C.a，b，c中只有一个为零 D.a，b，c中至少有一个不是零 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 三个数a，b，c不全为零的充要条件是a，b，c中至少有一个不是零，故选D. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 答案：充要 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 4．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第一象限的一个充分不必要条件是 ____________． 答案：k＝－1且b＝－1(答案不唯一)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 根据题意，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第一象限的充要条件是k<0且b≤0，因此，所求充分不必要条件可能是：①k<0且b＝0；②k＝－1且b≤0；③k<0且b<0等．故答案可为k＝－1且b＝－1(答案不唯一). 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（7） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [例1] 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． (1)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2.故p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.故p是q的充要条件． (3)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．故p是q的充分不必要条件． 当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. $$