第1章 1.3 第2课时 全集、补集及综合运用（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

集合与常用逻辑用语 1.3　集合的基本运算 第2课时　全集、补集及综合运用 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 学习目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 2．在给定情境中，了解全集的含义． 3．能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点一　全集 根据方程(x－3)(x2－2)＝0在不同范围内的解集，完成下面的问题： 该方程在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的____元素，那么就称这个集合为____ 记法 通常记作__ 所有 全集 U 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 “全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体问题加以选择的． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 知识点二　补集 观察下面三个集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，完成下面的问题. 1．集合A，B，U有什么关系？ 2．B中元素与U和A有何关系？ 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．补集 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为____________，记作_____ 符号 语言 ∁UA＝_________________ 图形 语言 所有元素 集合A的补集 ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝__； (2)A∩(∁UA)＝__； (3)∁UU＝__，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝__； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝_________； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). U ∅ ∅ A ∁U(A∪B) 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 (1)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [例1] (1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． (2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝_______________________________. 答案：(1){x|x<－3或x＝5}　(2){2，3，5，7} 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． (2)方法一　A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∵∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解； (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集； (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练1](2024·山西大学附中高一期中)已知全集U＝{0，4，8，10，12}，集合A＝{4，8，12}，则∁UA＝ (　　) A．{0，4，8} B．{0，10} C.{0，4，8，10} D．{0，4，8，10，12} B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练2](2025·石家庄一中高一月考)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝________． 答案：{x|－3<x≤－2或1<x<3}　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 因为全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}， 所以∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [变式探究] 将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB). 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，然后再计算其他，如求(∁RA)∩B时，可先求出∁RA，再求交集． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练3]已知全集U＝R，N＝{x|－3<x<0}，M＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0} C.{x|－1≤x<0} D．{x|x<－3} C 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 由题中图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩(∁UM)，∵M＝{x|x<－1}， ∴∁UM＝{x|x≥－1}， ∴N∩(∁UM)＝{x|－1≤x<0}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练4]已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{0，1，2}，则(∁RA)∩B＝ (　　) A.{0，1，2} B．{1，2} C.{0，1} D．{2} B 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 ∵A＝{x|－1<x<1}， ∴∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 又B＝{0，1，2}， ∴(∁RA)∩B＝{1，2}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 角度2　利用集合间的关系求参数 [例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x＜－m}， 因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是m≥2. 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 由集合的补集求解参数的方法 (1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)若集合中元素个数无限时，一般利用数轴分析法求解． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 [练5]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊆(∁UP)，求实数a的取值范围． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 ∁UP＝{x|x<－2或x>1}，因为M⊆(∁UP)，所以分M＝∅，M≠∅两种情况讨论． ①当M＝∅时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5； ②当M≠∅时，如图所示， 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 1．知识清单 (1)全集与补集及性质； (2)混合运算； (3)利用集合间的关系求参． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区 (1)利用数轴时，忽视特殊点的实虚． (2)解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 ◎随堂演练 1．(2025·深圳高一期末)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|x2≤1}，则∁UA＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{2} C.{－1，0，1} D．{－2，2} D 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|x2≤1}＝{－1，0，1}，则∁UA＝{－2，2}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 2．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是 (　　) A.－1 B．1 C.3 D．±1 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 ∵∁UA＝{－1}，∴A＝{1，3}， 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 3．设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩(∁UN)＝{2，4}，则N＝________． 答案：{1，3，5}　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 由M∪N中的元素去掉M∩(∁UN)中的元素，可得N＝{1，3，5}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－1<0}．则A∪(∁UB)＝________． 答案：{x|x>－2}　 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 析 因为B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}， 所以∁UB＝{x|x≥1}， 所以A∪(∁UB)＝{x|x>－2}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 5．(2025·庆阳高一阶段练习)已知全集U＝{－4，－1，0，1，2，4}，M＝{x∈Z|0≤x<3}，N＝{x|x2－x－2＝0}． (1)求M∩N； (2)求∁U(M∪N)； (3)求(∁UM)∪(∁UN). 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 (1)因为M＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0，1，2}，N＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}， 所以M∩N＝{2}． (2)由(1)知，M∪N＝{－1，0，1，2}， 所以∁U(M∪N)＝{－4，4}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 解 (3)由(1)知， ∁UM＝{－4，－1，4}，∁UN＝{－4，0，1，4}， 所以(∁UM)∪(∁UN)＝{－4，－1，4}∪{－4，0，1，4}＝{－4，－1，0，1，4}． 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 课时梯级训练（5） 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 A　 全集U＝{0，4，8，10，12}，集合A＝{4，8，12}，则∁UA＝{0，10}. 综合应用：集合中的混合运算 角度1　并集、交集、补集的简单综合 [例2] 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}． 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． 画出数轴，如图所示． 观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x<2或3<x≤5}． $$