精品解析：天津市五区县重点校2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题

2024～2025学年度第二学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：杨村一中 蓟州一中 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】因为，，所以 故选：D 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用可排除CD，利用奇偶性可排除B，由此得到结果. 【详解】当时，，CD中的函数，可排除CD； 由图象关于原点对称可知为奇函数，A中，满足奇函数定义；B中，满足偶函数定义，可排除B. 故选：A. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 故， 故选：D 5. 设为随机变量，若，当时，的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】随机变量服从正态分布，且满足， ，解得：. 故选：A 6. 2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（ ） A. 280 B. 336 C. 360 D. 408 【答案】D 【解析】 【分析】利用间接法，首先求第一个节目不排大合唱的方法种数，再减去两个节目相邻的方法，即可求解. 【详解】间接法：第一个节目不排大合唱，共有（种）不同的排法，第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共（种），所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有（种）排法， 故选：D. 7. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 【答案】C 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 8. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A. 8400 B. 11760 C. 13440 D. 20160 【答案】B 【解析】 【分析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果. 【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和时的解析式确定函数在上的单调性，再整理化简不等式，得到，换元并化简利用基本不等式求的最小值，即可求解的取值范围. 【详解】因为时，，则在上单调递增. 当时，，所以时，恒成立. 又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数. 不等式，对任意的恒成立， 即，因为是上的增函数， 所以，又因为， 所以，对任意的恒成立， 令， 则， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，因为对任意的恒成立， 所以. 故选：B 第II卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 在展开式中，的系数是______．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为，令，则项的系数为. 故答案为：40 11. 不等式的解集为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式的解集，确定一元二次方程的根，进而根据韦达定理求解参数的值即可. 【详解】已知不等式的解集为， 可得方程的两个根为，. 根据韦达定理可得：，. 解得：，. 进而求得： 故答案为： 12. 若函数在区间上是单调减函数，则实数取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空． 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 14. 已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解. 【详解】当时，由， 得，即. 令，则在上也为偶函数， 且当时，总成立，在上是增函数. 不等式可化为， 则，又，解得. 故答案为： 15. 已知函数，若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先去绝对值得到一个分段函数，转化为方程有三个不相等实数根，（1）当时，，且，可知在上是增函数，不满足题意；（2）当时，，可知在区间，上分别是增函数，而在区间上是减函数画出图像得到，即，令，判断的单调性即可求解. 【详解】由题意得， 且关于的方程有三个不相等的实数根， （1）当时， ，且， 可知在上是增函数， 此时关于的方程不可能有三个不相等的实数解； （2）当时， ， 可知在区间，上分别是增函数， 而在区间上是减函数(如图所示)， 当且仅当时， 方程有三个不相等的实数解. 即， 令， 则在时是增函数， 则得， 所以，所求实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为直线，另一个函数的图像为常见函数的图像. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）1 （2）180 （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【小问1详解】 由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． 【小问2详解】 由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． 【小问3详解】 要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 17. 某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取.若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响. (1)求恰有一人通过考试的概率； (2)设被录取的人数为求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出恰有一人通过考虑的概率. （2）先求得三人被录取的概率均为，根据二项分布概率计算公式计算出分布列，同时求得数学期望. 【详解】解：（1）设恰有一人通过考试为事件A，则 . （2）依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率，即每个人被录取的概率均为， 依题意的可能值为：0，1，2，3， 所以，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 0512 0.384 0.096 0.008 因为服从二项分布，所以 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求a的值，并求此时曲线在处的切线方程； （2）若在上为减函数，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得求出的值，计算，的值，由导数的几何意义求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，分离参数，令，求出即可得出答案. 【小问1详解】 在处取得极值，，解得 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处有极大值，符合题意 ，， 曲线在点处的切线方程为， 即为： 【小问2详解】 由在上为减函数， 在上恒成立， 可得，在上恒成立 令，， 在上单调递增， ，，因此. 19. 口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望； （Ⅲ）计分介于17分到35分之间的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，利用等可能事件概率公式计算即可得出结果； （Ⅱ）由题意所有可能的取值为：2，3，4，求出对应的概率，列出分布列可算得期望； （Ⅲ）由题意知计分介于17分到35分之间包含两种情况，即或，进而求出结果. 【详解】（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则； （Ⅱ）由题意所有可能的取值为：2，3，4． ， ， . 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 因此的数学期望为. （Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为， 则或. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，求出导数，令，接触单调区间即可； （2）（ⅰ）将的零点转化为的零点，求出，构造，得存在两个零点，讨论分析得到答案 （ⅱ）先证明，得到，再构造证明：当时，将与上述不等式结合得到，用替换得到答案. 【小问1详解】 当时，， ， 则在恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 （ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则， ， 所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，.综上，实数的取值范围为. （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以， 即， 两边同除以， 得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：杨村一中 蓟州一中 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设为随机变量，若，当时，的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（ ） A. 280 B. 336 C. 360 D. 408 7. 某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时， 残差为 D. 相关系数 8. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A. 8400 B. 11760 C. 13440 D. 20160 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 在展开式中，的系数是______．（用数字作答） 11. 不等式的解集为，则_______． 12. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 13. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 14. 已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为__________. 15. 已知函数，若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 17. 某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检机会，两项都合格则被录取.若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响. (1)求恰有一人通过考试的概率； (2)设被录取的人数为求的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求a的值，并求此时曲线在处的切线方程； （2）若在上为减函数，求a的取值范围. 19. 口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望； （Ⅲ）计分介于17分到35分之间的概率. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$