04二倍角公式学案-2026届新高三学生暑假数学复习

04 二倍角公式 【课标要求】 1．掌握二倍角公式，能用二倍角公式进行相关的计算． 2．掌握二倍角公式的逆用，并进行相关的化简和证明． 【知识梳理】 1．二倍角公式 （1）二倍角的正弦 ，，， ； （2）二倍角的余弦 ； （3）二倍角的正切 ，． 2．降幂公式 ，，． 【考点题型】 一、二倍角公式的简单运用 例1．（1）已知，则 ． （2）的化简结果是 ． （3）设，，，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】1 ﹣2sin4 【解析】（1）由，所以 所以． （2）原式＝＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为<4<，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4． （3）因为，所以有， 即，所以； 因为，而， 所以有，所以，即； 因为，而 所以； 显然，，而，所以，即，所以． 二．已知三角函数值，结合和差倍公式求三角函数值 例2．（1）已知，(0，)，则＝ ． （2）已知(0，)，若，求的值． 【答案】 【解析】（1）因为，所以，即，因为(0，)，则(0，π)，所以，则，所以＝． （2）∵已知，∴sin（θ+）=， 设α=θ+，则θ=α﹣，且cosα=，sinα=， 则tanα=，则tan2α=， 则=tan[2（α﹣）+]=tan（2α﹣）=． 三．利用和差倍公式计算非特殊角三角函数式的值 例3．（1） ． （2）求值：＝ ． （3）＝ ． （4）化简＝ ． （5）＝ ． （6）＝ ． （7）由sin36°＝cos54°，可求得sin18°的值为 ． 【答案】 2 ﹣1 8 【解析】（1）分子分母同时乘sin，利用正弦二倍角公式化简到，从而得， （2） ， （3）因为， （4）原式.， （5）原式， （6）原式， （7） ， 因，则，而， 于是得：，即，， 而，解得：． 四、三角恒等式的证明 例4．已知，，且3sin＝sin(2＋)，4tan＝1﹣tan2．证明： ． 【解析】证明：根据条件， ，即，， 则，整理可得 ，即，， 则，故． 五、三角恒等式的应用 例5．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP＝PC，CD＞AB，AB＝2，CD＝y，∠CAB＝，y关于的函数记为． （1）求的表达式及的取值范围； （2）当(0，)时，不等式m＋2m≥恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）设，， 则，，， ，， 即； 又，∴， ∴，即，∴， 解得，∴，； （2）当时，， ∴等价于 由，得 ∴实数的取值范围是． 【课后作业】 1．已知，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 2．化简的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，故，原式． 3．函数是 A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 【答案】B 【解析】由题意，函数的定义域为，则，故函数为偶函数， 因为， 且，所以当时，函数的最小值为． 4．若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则，解得， 则． 5．设，，，则有 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， ， ，根据正弦函数的单调性可知，根据正切函数的单调性可知． 6．求的值为 A．1 B．2 C． D．4 【答案】4 【解析】 ． 7．已知锐角满足，且，则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 即， 而， 所以， 移项得，即， 又，是锐角，所以，则， 所以，即，且，所以，解得， 因为，所以， 又，所以． 8．已知函数，若有两个零点，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知， 令，则，所以或； 可得或，因此或， 又因为，所以； 所以 ． 9．（多选）下列化简正确的是 A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 10．（多选）若为锐角，且，则 A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意可知： ，则，故A正确； 因为为锐角，所以，所以，， 所以，故B正确； ，故C错误；，故D正确． 11．（多选）在中，若，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由得，， 因为，所以，所以， 所以不一定为1，A错误； 因为，， 所以，从而有，B正确； 因为，所以不一定等于1，C错误； ，D正确． 12．已知，则的值是 ． 【答案】 【解析】由可得， 弦化切得：， 再由二倍角公式得：． 13．已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由，则， 由，得， 则，即，， 所以， 则． 14．已知，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】因为， 故， 故，即， 即，而， 同理，故，即， 所以，当且仪当时，等号成立，故的最大值是． 15．已知角，满足，，且，． （1）求的值； （2）求的大小． 【解析】解：（1）因为，，所以； 因为，，所以 所以，， 所以； （2）因为，，所以， 因为，，所以，， ，得，， ，因为，所以． 16．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科． （1）已知，试证明此三倍角公式； （2）若角满足 ，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值． 【解析】解：（1）由 ，得证； （2）由（1）知，可得， 又 ， 故 （3）由，则， 所以，则， 所以，可得（负值舍），所以． 17．如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米． （1）设 ，求f(θ)的表达式； （2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值． 【解析】解：（1）如图所示，因为，可得， 所以， 在直角中，， 在直角中，， 由，可得，所以.    （2）由（1）知： 在直角中，， 在直角中，， 所以直角梯形的面积为：， 因为，所以，所以， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 当时，（米），此时取得最小值为平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 二倍角公式 【课标要求】 1．掌握二倍角公式，能用二倍角公式进行相关的计算． 2．掌握二倍角公式的逆用，并进行相关的化简和证明． 【知识梳理】 1．二倍角公式 （1）二倍角的正弦 （2）二倍角的余弦 （3）二倍角的正切 2．降幂公式 【考点题型】 一、二倍角公式的简单运用 例1．（1）已知，则 ． （2）的化简结果是 ． （3）设，，，则a，b，c的大小关系为 ． 二．已知三角函数值，结合和差倍公式求三角函数值 例2．（1）已知，(0，)，则＝ ． （2）已知(0，)，若，求的值． 三．利用和差倍公式计算非特殊角三角函数式的值 例3．（1） ． （2）求值：＝ ． （3）＝ ． （4）化简＝ ． （5）＝ ． （6）＝ ． （7）由sin36°＝cos54°，可求得sin18°的值为 ． 四、三角恒等式的证明 例4．已知，，且3sin＝sin(2＋)，4tan＝1﹣tan2．证明： ． 五、三角恒等式的应用 例5．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP＝PC，CD＞AB，AB＝2，CD＝y，∠CAB＝，y关于的函数记为． （1）求的表达式及的取值范围； （2）当(0，)时，不等式m＋2m≥恒成立，求实数m的取值范围． 【课后作业】 1．已知，则 A． B． C． D． 2．化简的结果是 A． B． C． D． 3．函数是 A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 4．若，则 A． B． C． D． 5．设，，，则有 A． B． C． D． 6．求的值为 A．1 B．2 C． D．4 7．已知锐角满足，且，则的值为 A． B． C． D． 8．已知函数，若有两个零点，则的值为 A． B． C． D． 9．（多选）下列化简正确的是 A． B． C． D． 10．（多选）若为锐角，且，则 A． B． C． D． 11．（多选）在中，若，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 12．已知，则的值是 ． 13．已知，且，则 ． 14．已知，则的最大值是 ． 15．已知角，满足，，且，． （1）求的值； （2）求的大小． 16．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科． （1）已知，试证明此三倍角公式； （2）若角满足 ，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值． 17．如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米． （1）设 ，求f(θ)的表达式； （2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$