第二章一元二次函数、方程和不等式 章末综合检测-2025-2026学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册

第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B A D B D AC ACD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【解析】D 因为，所以， 所以不等式的解集是. 2. 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】C 因为，又，，所以的取值范围是． 3. 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】A ，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【解析】B 因为，都是正数，且满足， 则，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】A 当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，且方程时，， 解得， 即的取值范围为． 6. 已知正数a，b满足，则的最小值值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【解析】D 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 8. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】D 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】AC 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【解析】ACD 由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确. 11. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【解析】ACD 对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是__________． 【解析】，解得或， 所以不等式的解集为. 13. 已知，则函数的最小值为________． 【解析】， 当且仅当时等号成立， ∴最小值为. 14. 设表示数集中最小的数，若，则的最大值为________． 【解析】设， 则，，，， 因为，所以,， 当且仅当时两个不等式同时取等号， 所以， 又， 当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号， 故的最大值为1. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 或. 当时， 所以或. 所以或. （2）因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得， 解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【解析】（1）由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 17. 已知不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解不等式. 【解析】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且方程即方程的解为， 所以， 所以； （2）由（1）得不等式即， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知正数a，b满足，则的最小值值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10. 关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 11. 若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是__________． 13. 已知，则函数的最小值为________． 14. 设表示数集中最小的数，若，则的最大值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 16. 求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 17. 已知不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解不等式. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 19. 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$