03两角和差公式学案-2026届新高三学生暑假数学复习

03 两角和差公式 【课标要求】 1．掌握两角和差公式，能用两角和差公式进行相关的计算． 2．掌握两角和差公式的逆用，并进行相关的化简和证明． 【知识梳理】 1．两角和差的三角函数 两角和差的正弦： 两角和差的余弦： 两角和差的正切： 2．辅助角公式 3．三角函数值 0° 15° 22.5° 30° 45° 60° 67.5° 75° 90° sin cos tan 【考点题型】 一．和差公式的简单运用及其逆运用 例1．（1）化简： ． （2）化简： ． 例2．（1）△ABC的三个内角A，B，C，若，则tanA＝ ． （2）在数学解题中，常会碰到形如“” 的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足，则 ． 二．公式的变形与衍生 例3．（1）计算： ． （2）已知角，满足，若，则 ． （3）已知cos()＝，tantan()＝p，其中p为正的常数，则p的值为 ． 三．已知三角函数值，结合和差公式求三角函数值或求角（注意观察角） 例4．（1）已知，，(，)，(0，)，则 的值为 ． （2）已知，，则＝ ． （3）已知，则的值为 ． 例5．（1）在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C＝ ． （2）已知，且，，则 ． 四．辅助角公式 例6．若当x＝时，函数取得最小值，求的值． 五．利用和差公式计算非特殊角三角函数式的值 例7．（1） ． （2）＝ ． （3）＝ ． （4）sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝ ． 六．与和差公式有关的综合类问题 例8．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值． 【课后作业】 1．已知，，则 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D．5 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为 A． B． C． D． 6．若，则 A． B． C． D． 7．已知，，则 A． B． C． D． 8．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 A． B． C．2 D．1 9．（多选）化简： A． B． C． D． 10．（多选）下列四个选项中，结果正确的是 A． B． C． D． 11．（多选）如图，正方形的边长为1，，分别为，上动点，且的周长为2，则 A．的最大值为 B．为定值 C．到的距离为定值1 D．的面积最小值为 12．已知，则 ． 13．写出一个使得成立的的度数为 ． 14．已知函数在处取得最小值，则 ． 15．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，且，求的值． 16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）若，求此时管道的长度； （3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 两角和差公式 【课标要求】 1．掌握两角和差公式，能用两角和差公式进行相关的计算． 2．掌握两角和差公式的逆用，并进行相关的化简和证明． 【知识梳理】 1．两角和差的三角函数 两角和差的正弦： 两角和差的余弦： 两角和差的正切： 当A＋B＋C＝π时，则tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 2．辅助角公式 ，其中，，． 3．三角函数值 0° 15° 22.5° 30° 45° 60° 67.5° 75° 90° sin 0 1 cos 1 0 tan 0 1 【考点题型】 一．和差公式的简单运用及其逆运用 例1．（1）化简： ． （2）化简： ． 【答案】 例2．（1）△ABC的三个内角A，B，C，若，则tanA＝ ． （2）在数学解题中，常会碰到形如“” 的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足，则 ． 【答案】1 【解析】（1）依题意，， 又，因此，解得：， 所以. （2）不等于零 ， 令=tan， ，所以． 二．公式的变形与衍生 例3．（1）计算： ． （2）已知角，满足，若，则 ． （3）已知cos()＝，tantan()＝p，其中p为正的常数，则p的值为 ． 【答案】 【解析】（1）， ． （2），又， 所以． 三．已知三角函数值，结合和差公式求三角函数值或求角（注意观察角） 例4．（1）已知，，(，)，(0，)，则 的值为 ． （2）已知，，则＝ ． （3）已知，则的值为 ． 【答案】 1 【解析】（1）因为，所以， 又，所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，又 所以 ． （2）1， （3），，， ，，． 例5．（1）在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C＝ ． （2）已知，且，，则 ． 【答案】30° 【解析】（1）由，两式平方后相加可得即，所以，而由，所以，所以由，此时． （2）由题意可得tanxtany＝＝2，解得cosxcosy＝，故cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny＝＋＝，又0<y<x<π，所以0<x－y<π，所以x－y＝． 四．辅助角公式 例6．若当x＝时，函数取得最小值，求的值． 【解析】由函数，其中，且为锐角，当时，函数取得最小值，所以，即， 所以，令，即， 故 ． 五．利用和差公式计算非特殊角三角函数式的值 例7．（1） ． （2）＝ ． （3）＝ ． （4）sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝ ． 【答案】 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）原式 ． 六．与和差公式有关的综合类问题 例8．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值． 【解析】，又，因此 ，即最小值为8． 【课后作业】 1．已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 两边同时除以，可得，， ，，解得． 2． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ． 3．已知，则 A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由可得：，， 两式相加可得：，则； 两式相减可得：，则， 故． 4．已知，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以， 因为 ，所以， 所以 ==． 5．已知，，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，， 即， 即，则， 又， 当且仅当时，等号成立， 因为，，所以，， 由于在上单调递增，在上恒为负，所以的最小值为． 6．若，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 两边同乘以，可得， 因为， 可得， 即， 即， 可得，即． 7．已知，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 又， 由 ，所以． 8．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 A． B． C．2 D．1 【答案】B 【解析】由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，． 9．（多选）化简： A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 ． 10．（多选）下列四个选项中，结果正确的是 A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，A错误；因为，所以，B正确； 因为，， ，C正确； ，D错误． 11．（多选）如图，正方形的边长为1，，分别为，上动点，且的周长为2，则 A．的最大值为 B．为定值 C．到的距离为定值1 D．的面积最小值为 【答案】BCD 【解析】如图，设，则， 因的周长为2，则，在中，， 整理得，又因为， 于是，， 因，故，则，故B正确； 由B项已得，， 由，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故A错误； 如图，以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系. 则，又，则直线的方程为：， 整理得：， 即， 则点到直线的距离为： ，故C正确； 设，由上分析，，且， 则的面积为， 因，则，则， 故，故的面积最小值为， 当且仅当，即时取得，故D正确． 12．已知，则 ． 【答案】11 【解析】由题知，， 即，， 所以，， 所以． 13．写出一个使得成立的的度数为 ． 【答案】123°（答案不唯一） 【解析】易知， ，，当时，． 14．已知函数在处取得最小值，则 ． 【答案】 【解析】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 ． 15．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，且，求的值． 【解析】 16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）若，求此时管道的长度； （3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【解析】 12 学科网（北京）股份有限公司 $$