精品解析：四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版）

四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版） （满分150分 120分钟完卷） 班级：__________ 姓名：__________ 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ， 3. 把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（ ） A. 12米 B. 16米 C. 28米 D. 40米 5. 图中方格线上的八条等长线段形成一个图形，其中四条线段标上号码，擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形（ ） A. ②和③ B. ①和② C. ③和④ D. ①和③ 6. 乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ） A. B. C. D. 7. 周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（ ） A. 5，0 B. 4，1 C. 3，2 D. 2，3 8. 为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（ ） A. 小强离家最远10公里 B. 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找 C. 小强当天一共走了20公里 D. 中途，小强和爸爸休息了一个小时 9. 如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①， ②连接，则的周长， ③连接，，则平分， ④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是______________． 12. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 13. 聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约_____________（用科学记数法表示）． 14. 按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为_____________． 15. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 三、解答题（95分） 16. 计算题 （1）计算： （2）先化简，再求值：．其中，． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上作一点，使最短； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个． 18. 如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 19. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 （1）表中的_____________，_____________； （2）通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； （3）上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 20. 把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； （2）已知，求的值． 21. 如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 22. 游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 23. 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，连接，若，求四边形的面积． 24. 二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ，．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版） （满分150分 120分钟完卷） 班级：__________ 姓名：__________ 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等法则的应用，根据运算法则逐项分析即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【分析】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，分两种情况：当为底边时，当为腰长时，分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当为底边时，此时两腰长度相等，总周长为，故两腰之和为，每腰长为，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时，此时另一腰也为，底边长为，此时三边分别为、、，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，三角形的另外两边长分别为，， 故选：D． 3. 把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 4. 如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（ ） A. 12米 B. 16米 C. 28米 D. 40米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 5. 图中方格线上的八条等长线段形成一个图形，其中四条线段标上号码，擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形（ ） A. ②和③ B. ①和② C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、擦去②和③，是轴对称图形，故不符合题意； B、擦去①和②，是轴对称图形，故不符合题意； C、擦去③和④，剩余部分没有一条直线可以将其分为完全相同的两部分，故不是轴对称图形，符合题意； D、擦去①和③，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 6. 乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，用两种方式表示出阴影部分的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为， 故验证的公式为， 故选：B． 7. 周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（ ） A. 5，0 B. 4，1 C. 3，2 D. 2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件及必然事件的概念，对话中共涉及五个事件，再根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：下雨：可能发生，属于随机事件； 升旗仪式改在室内：是否发生取决于是否下雨，属于随机事件； 体育课改健康课：同样依赖下雨条件，属于随机事件； 举起万斤哑铃：万斤（5000公斤）远超人类能力，属于不可能事件； 可能迟到：是否迟到不确定，属于随机事件； 综上，随机事件共4件，不可能事件1件； 故选：B． 8. 为培养小强吃苦精神和坚强意志，爸爸和小强开展了一次远足活动，图是小强与爸爸远足的时间与离家的距离的关系，请根据图中信息判断下列选项，其中不正确的是（ ） A. 小强离家最远10公里 B. 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找 C. 小强当天一共走了20公里 D. 中途，小强和爸爸休息了一个小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象所给信息逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：小强离家最远10公里，故A正确，不符合题意； 2至3时，小强可能因物品掉落，返回寻找，故B正确，不符合题意；； 中途，小强和爸爸休息了一个小时，故D正确，不符合题意； 小强当天一共走了公里，故C不正确，符合题意； 故选：C． 9. 如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，先求出，再结合三角形公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边BC上一点，，的面积是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①， ②连接，则的周长， ③连接，，则平分， ④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由作图可得平分，垂直平分，再由同角的余角相等即可判断①；连接，由线段垂直平分线的性质可得，即可判断②；连接，，则，，再由等边对等角结合角平分线的定义即可判断③；作于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，故①正确； 连接， ， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴，故②正确； 连接，， ， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； 如图：作于， ， 由角平分线的性质定理可得：， ∵，，， ∴，故④错误， 综上所述，正确的个数为个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有11种等可能性，其中抽到是的可能性有2种， 故抽到是的概率是． 故答案为：． 12. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约_____________（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查有理数乘法应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据距离=速度乘以时间计算，再用科学计算法表示计算结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序框图与求代数式的值，以及平方差公式，根据分析求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴或， ∴输入的最大值为4． 故答案为：4． 15. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 三、解答题（95分） 16. 计算题 （1）计算： （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）5 （2），10 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，整式的混合运算． （1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算加减； （2）先算括号里，再算除法，然后把，代入计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当，时， 原式． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上作一点，使最短； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出_____________个． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图， （3）3． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称求最短问题，构造全等三角形． （1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、即可； （2）连接交直线于点即可； （3）画出所有全等的三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交直线于点，点即为所求； 【小问3详解】 解：根据轴对称，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 18. 如图：中，是的平分线，；点E、F是边、上的点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得到，再由等边对等解得出，从而得出，即可由内错角相等两直线平行得出结论； （2）先证明，从而由平行线的性质得出，再等量代换即可得出结论； （3）先由平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得，然后根据三角形外角性质求出，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴， 由（1）知： 又∵， ∴ ∴． 19. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 （1）表中的_____________，_____________； （2）通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； （3）上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】（1）0.48；102 （2）0.5 （3） 这个游戏不公平，理由：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 【解析】 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：0.48；102． 【小问2详解】 解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． 【小问3详解】 略 20. 把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； （2）已知，求的值． 【答案】（1），1； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； 【小问2详解】 解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 21. 如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴． （2） ， 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 证明：设，的交点为M， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得到；结合，得到，利用线段之差解答即可； （3）设，的交点为M，证明，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 23. 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在和中，， ， ∴； （2） ，理由如下： 设与交于点，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵， ，， ∵， ， ； （3）50 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，，，再利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）的三角形全等，得到，，利用等式的性质求得，再由垂直定义得到结论； （3）根据，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得，由（2）知：， ， ， ， ； 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，垂直的定义，三角形的面积．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 二维码中的数学 【阅读材料】 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】 （1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件： ，．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】 （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用方格有涂色和不涂色两种情况解答即可． （2）根据题意，，，结合，求得，再根据，开平方，求得，将展开，代入求值即可． （3）根据题意，得，根据完全平方公式的变形求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每个方格有涂色和不涂色两种情况， 则一共可以表示个信息． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 答：扩展后的二维码共有个方格． 【小问3详解】 解：根据题意，共有个方格， 每个方格有涂色和不涂色两种情况， 则一共可以表示个信息， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，当时取等号， 故的最小值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $