13.2.1三角形的边（教学课件）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

人教版（2024）八年级数学上册 第十三章 三角形 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.经历证明三角形任意两边之和大于第三边的推理过程，学会用符号语言表达三边关系.（重点） 2.学会运用三角形三边关系解决等腰三角形边长相关的问题，提升推理能力和分类讨论的能力.（重难点） 3.了解三角形的重心和三角形的稳定性，了解三角形的稳定性在日常生活和工程建筑中的广泛应用.（重点） 新课导入 新课导入 为什么设计师们这么青睐三角形呢？三角形的边之间是不是有着什么特殊奥秘，让它能在建筑中发挥大作用呢？今天，咱们就一起深入探究三角形的边，揭开它的神秘面纱 ！ 知识点讲解 A B C 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 路线2:由点B到点C. 路线1:由点B到点A，再由点A到点C. BA+AC BC. 哪个线路比较长呢？ 探 究 利用在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论，就可以知道路线1的长度大于路线2, 即 BA+AC>BC . 那么你能证明这个结论吗？ 对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB, ② AB+BC>AC. ③ A B C 证明： 这样，我们就证明了，三角形的两边之和大于第三边. 进一步，由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC, BC>AC-AB. 这就是说，三角形的两边之差小于第三边. 定义与概念 三角形的两边之和大于第三边. 三角形的两边之差小于第三边. 思 考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ a b c 当 b+c < a 时 不能构成三角形 a b c 当 b+c=a 时 不能构成三角形 a b c 只有当 b+c>a 时 三条线段能构成三角形 3.如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形. 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 归纳总结 典型例题 例1.以下列长度的三条线段(或满足三条线段的比)为边，能构成三角形的有哪些？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； (3)三条线段之比为4∶5∶6； (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0). 经典例题 解题秘方： 快速判断三条线段能否构成三角形的方法： 只要满足三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段的条件， 或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能. 解：（1）∵ 6 cm＋8 cm>10 cm， ∴长度为6 cm，8 cm，10 cm 的三条线段能构成三角形. （2）∵ 5 cm＋2 cm<8 cm， ∴长度为5 cm，8 cm，2 cm的三条线段不能构成三角形. 例1.以下列长度的三条线段(或满足三条线段的比)为边，能构成三角形的有哪些？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； (3)三条线段之比为4∶5∶6； (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0). 经典例题 （3）设这三条线段的长分别为4x，5x，6x(x>0). ∵ 4x＋5x>6x，∴长度之比为4∶5∶6的三条线段能构成三角形. （4）∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ，当a>0 时，2a＋3 >a＋3， ∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能构成三角形综上可知，能构成三角形的有(1)(3)(4)． . 典型例题 例2.（课本例题）用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解 ：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则 x+2x+2x=18. 解得 x=3.6 . 所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. （2）因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 4 + 2x = 18 ①如果 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则 解得 x = 7. 2×4 + y = 18 ②如果 4 cm 长的边为腰，设底边长为 y cm，则 解得 y = 10. 因为 4 + 4 < 10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形. 例2.（课本例题）用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 4cm 4cm 知识点讲解 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 如图，将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探 究 它的形状不会改变. 四边形的形状会改变. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 它的形状不会改变. 在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗? 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 三角形的稳定性有着广泛的应用. 起重机 钢架桥 典型例题 例3.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，如图13.2-2 所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的__________． 稳定性 经典例题 解题秘方：三角形的稳定性在生活中有广泛的应用. 解：保护壳从侧面看是三角形，三角形具有稳定性，因此平板电脑放在上面可以放心使用. 课堂练习 基础 知识点1 三角形的三边关系 1.满足下列条件的三条线段，， 能组成三角形的是( ) C A. B.， C.，， D.，， 基础题 【解析】根据三角形的三边关系可知，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边. A 设,,分别为,,,则有 ,故不能组成三角形 B 将代入,得,,即 ,故不能组成三 角形 C 符号三角形的三边关系，故能组成三角形 D ,故不能组成三角形 26 2.［2024山西太原期中］王老师有长度分别为, 的两根小棒（如图），如果要把 其中的一根剪成两段，那么在下列选项的剪法中，三根小棒一定能围成三角形的 是( ) B A.将长为的小棒正中间剪一刀 B.将长为 的小棒正中间剪一刀 C.将长为的小棒任意剪一刀 D.将长为 的小棒任意剪一刀 【解析】， 由三角形三边关系得到将长为 的小棒正中间剪一刀，三根 小棒一定能围成三角形.故选B. 27 3.［2025安徽马鞍山期中］三角形的三边长分别为5，7，，则第三边长 的取值 范围是___________. 【解析】由题意得第三边长的取值范围是，即 ,故答 案为 . 4.［2025贵州遵义期中］若，，为的三边长，则 ___0（填“ ”“ ”或“ ”）. 【解析】,,是的三边长，，， ， ，，故答案为 . 28 5.［2025河北邢台期末］如图，在同一平面内有三个点，， . （1）利用尺规，按下面的要求作图（不写作法，保留作图痕迹）. 【解】如图所示. ①作射线 ； 【解】射线 即为所求作. ②作线段 ； 【解】线段 即为所求作. ③连接，并在线段上截一条线段，使，连接 . 【解】线段,, 即为所求作. （2）观察（1）得到的图形， _____________________________________ ____（填“ ”“ ”或“ ”）. 在中，.故答案为 . 29 6.［2025辽宁沈阳质检］如图，在中，点在上，点在 上.求证： . 【证明】延长交于点 ，如图. 在中， ， ， 即 . 在中， ， ， 即 ， . 30 知识点2 三角形的稳定性 7.［2024贵州遵义期中］如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ，,,, 分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需 要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( ) D A.,两点处 B.,两点处 C.,两点处 D., 两点处 【解析】由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条， 根据三角形具有稳定性，这根木条钉在， 两点处时，不能构成三 角形，所以不应该钉在， 两点处.故选D. 31 8.［2025吉林松原期中］如图，自行车框架中的,, 构成一个几何图形， 其可使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是__________________. 三角形具有稳定性 【解析】因为,, 构成的几何图形是三角形，所以使自行车结构更加稳固 用到的几何原理是三角形具有稳定性.故答案为三角形具有稳定性. 32 易错点 忽略三角形三边关系而致错 9.若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为____. 22 【解析】①若4是腰长，则底边长是9，但是 ，故不能构成三角形，舍去. ②若4是底边长，则腰长是9， ，符合三角形三边关系，成立.故等腰三角 形的周长为 . 易错题 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分 情况后的三条线段能否构成三角形. 33 10.小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上 4根木条，请在图中画出三种做法. 解：如图所示.（答案不唯一） 提升题 34 11.已知，， 是一个三角形的三边长. （1）填空：___0,___0，___0;（填“ ”“ ”或“ ”） （2）化简： . 解：原式 . 35 12.观察并探求下列各问题： （1）如图①，在中，为边上一点，则___ （填“”“”或“ ”）． 拓展题 36 （2）如图②，将（1）中的点移到内，试观察比较 的周长与 的周长的大小． 解：延长交于点，在中， ，① 在中， ，② ，得 ， 的周长 的周长. 37 （3）如图③，将（2）中的点变为两个点， ，试观察比较四边形 的周长与 的周长的大小． 解：分别延长，交于点 ， 由（2）知 ， 又 ， ， 四边形的周长 的周长. 38 课堂小结 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 三角形 的边 三角形三边的关系 三角形的性质 稳定性 本节课同学们学到了什么 布置作业 作业题 教科书第7页练习 第1，2题 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10. × × √ 因为 3 + 4 < 8 因为 5 + 6 = 11 因为 5 + 6 > 10，10 – 5 > 6 课本练习 2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？ 解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 1 dm < 4 dm； 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形， 因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm. 感谢观看 $$