第七章《相交线与平行线》 暑假巩固复习讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第七章《相交线与平行线》 知识点复习 一、 同一平面内两条直线的位置关系（基础前提） 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交 或 平行 。（不存在第三种情况） 2. 相交线：两条直线有且仅有 1 个公共点（交点）。 3. 平行线：两条直线 没有 公共点。（定义） 4. 特别说明：两条直线重合的情况视为同一条直线，不属于本章讨论的位置关系。 二、 相交线 5. 两条直线相交，形成4个角，其中相邻的两个角互为 邻补角 ， 相对的两个角互为 对顶角 。 6. 邻补角：有 公共顶点 和 一条公共边，且另一边互为 反向延长线 的两个角。数量关系： 互补（和为 180°） 。 7. 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的 反向延长线 的两个角。对顶角的性质： 对顶角相等 。 8. 垂直：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是 直角 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，交点叫做 垂足。垂直用符号 ⊥ 表示（如 AB ⊥ CD）。 9. 在同一平面内，过一点（无论点在直线上或直线外） 有且只有 1 条直线与已知直线垂直。（垂线的唯一性） 10. 点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段 最短 。这条垂线段的 长度 叫做点到直线的距离。（强调“长度”是数量） 三、 “三线八角”（两条直线被第三条直线所截） 11. 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角。 12. 同位角：位置在两条直线的 同一方 ，且在第三条直线的 同一侧 。形如 “F”。 13. 内错角：位置在两条直线的 内部 ，且在第三条直线的 两侧 。形如 “Z” 。 14. 同旁内角：位置在两条直线的 内部 ，且在第三条直线的 同一侧 。形如 “U” 。 四、 平行线及其判定 15. 平行公理（基本事实）：经过直线外一点， 有且只有 1 条直线与这条直线平行。（存在性和唯一性） 16. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 互相平行 。（符号语言：） 17. 平行线的判定方法： * 判定方法1（同位角）： 同位角 相等 ，两直线平行。 * 判定方法2（内错角）： 内错角 相等 ，两直线平行。 * 判定方法3（同旁内角）： 同旁内角 互补（和为 180°） ，两直线平行。 * 判定方法4（垂直）：在同一平面内， 垂直于 同一条直线 的两条直线互相平行。 五、 平行线的性质 18. 平行线的性质： * 性质1（同位角）：两直线平行， 同位角 相等 。 * 性质2（内错角）：两直线平行， 内错角 相等 。 * 性质3（同旁内角）：两直线平行， 同旁内角 互补 。 * 性质4（垂直传递）：如果一条直线 垂直于 平行线中的一条，那么它 垂直于 另一条。 * 性质5（距离定义）：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 都相等。这个距离称为 平行线间的距离 。（ 平行线间的距离 处处相等 ） 六、 命题、定理与平移 19. 命题：判断一件事情的语句。由 题设（条件） 和 结论 组成。 20. 真命题：正确的命题；假命题：错误的命题。 21. 定理：经过推理证实的 真命题 。 22. 平移：在平面内，将图形沿某 方向 移动一定 距离 。平移只改变图形的 位置 ，不改变 其 形状 和 大小 。 23. 平移的性质： * 平移前后的图形 全等 。 * 对应点连线 平行（或共线） 且 相等 。 * 对应角 相等 。 24. 平移的要素： 方向 和 距离 。 七、 核心总结与易错点 25. 位置关系核心框架：同一平面内 → 不重合两直线 → { 相交（含垂直），平行 }。 26. 核心思想： * 判定：由 角的关系 (相等或互补) → 推 线平行 。（角 → 线） * 性质：由 线平行 → 推 角的关系 (相等或互补) 。（线 → 角） 27. 易错警示： * 所有平行线的定义、公理、判定、性质的前提都是 “在同一平面内” ！空间立体几何中结论可能不成立。 * “垂直同一直线的两直线平行”、“平行同一直线的两直线平行”都需 “在同一平面内” 。 * 点到直线的距离是 垂线段的长度，是数量，不是线段本身。 * 识别同位角、内错角、同旁内角的关键是 位置特征，与角的大小无关。 * 平移不改变图形的形状和大小，对应边相等、对应角相等。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，某农户将水渠AB的水通过引水管道MN引入麦田M处浇地，做法如下：过点M作MN⊥AB于点N，则沿MN铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【解答】解：能解释这一做法的道理是垂线段最短， 故选：A． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠1等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．35° 【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2， ∵∠1+∠2＝80°， ∴∠1＝40°， 故选：A． 3．如图，直线l1，l2，l3交于点O，若∠1＝30°，∠2＝110°，则∠3的度数为（　　） A．65° B．75° C．80° D．95° 【解答】解：∵∠1+∠3＝∠2， ∴∠3＝∠2﹣∠1＝110°﹣30°＝80°． 故选：C． 4．如图，已知a∥b，将三角板ABC的直角顶点A放在直线b上．若∠1＝114°，则∠2 的度数为（　　） A．30° B．26° C．25° D．24° 【解答】解：如图， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝114°， ∵将三角板ABC的直角顶点A放在直线b上． ∴∠2＝∠3﹣90°＝24°． 故选：D． 5．如图，AF∥BC，DB平分∠ADC，DE平分∠CDF交BC的延长线于点E，且 AB∥CD，下列结论中不正确的是（　　） A．BD平分∠ABC B．BD⊥DE C．∠DCE＝2∠FDE D．∠E+∠ADB＝90° 【解答】解：∵AF∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠BDC（两直线平行，内错角相等）， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB（角平分线的定义）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC，故A结论正确， ∵DB平分∠ADC，DE平分∠CDF， ∴， ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴， ∴BD⊥DE，∠ADB+∠EDF＝90°，故B结论正确， ∵AF∥BC， ∴∠E＝∠EDF， ∴∠E+∠ADB＝90°，故D结论正确， ∵DE平分∠CDF， ∴∠CDF＝2∠FDE， 根据现有条件无法证明∠CDF＝∠DCE， ∴无法证明∠DCE＝2∠FDE，故C结论错误，符合题意； 故选：C． 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 7．四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的图案是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置， ∴原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合． 故选：C． 8．如图，AC∥DE，AB∥DF，已知∠BED＝65°，则∠DFC的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠A＝∠BED＝65°（两直线平行，同位角相等）， ∵AB∥DF， ∴∠DFC＝∠A＝65°（两直线平行，同位角相等）， 故选：B． 9．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，∠ABO＝α，则下列结论正确的是（　　） A． B．∠BOE＝180°﹣α C．∠BOD＝2α D．∠EOD＝180°+α 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∠BOD＝∠ABO＝α，故C选项错误，不符合题意； 又∵OE平分∠BOC， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∴，故D选项错误，不符合题意； 又∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴，故A选项正确，符合题意； 故选：A． 10．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝45°，必有∠4＝30°．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①② D．③④ 【解答】解：由条件可知∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正确； 如果∠2＝30°，则∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠3＝90°+60°＝150°， ∵∠D＝30°， ∴∠CAD+∠D＝150°+30°＝180°， ∴AC∥DE，故②正确； 如果∠2＝30°，则∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝45°， ∴∠B≠∠3， ∴得不到平行关系，故③错误； 由条件可知∠1＝∠C＝45°，BC⊥AE， ∴∠4与∠E互余， ∴∠4＝30°，故④正确； 所以正确的有①②④， 故选：B． 二、填空题练习 11．如图，∠2的同位角是 　∠1　 ． 【解答】解：如图，∠2的同位角是∠1． 故答案为：∠1． 12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝54°时，∠1＝ 　36°　 ． 【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝54°， ∴∠2＝∠3＝∠2＝54°， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 13．如图，CD平分∠ACB，DE∥AC．若∠1＝35°，则∠2＝　70　 度． 【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠1＝35°， ∴∠ACB＝2∠1＝70°， ∵DE∥AC， ∴∠2＝∠ACB＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质． 14．下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行． 其中假命题有　①②③　 （填序号）． 【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．版权所有 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题命题是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； 故答案为：①②③． 15．如图，要使AB∥CD，需要添加的一个条件为 　∠1＝∠A（答案不唯一）　 ． 【解答】解：添加∠1＝∠A， ∵∠1＝∠A， ∴AB∥CD， 故答案为：∠1＝∠A（答案不唯一）． 16．图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你简单地说出其中的数学原理 　同位角相等，两直线平行　 ． 【解答】解：图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，其中的数学原理是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 17．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD＝4：1，则∠COF＝　60°　 ． 【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOD＝2∠EOD， ∵∠AOD：∠EOD＝4：1， ∴2∠EOD+4∠EOD＝180°， 解得：∠EOD＝30°， ∴∠BOC＝∠AOD＝4∠EOD＝120°， ∵OF平分∠COB， ∴， 故答案为：60°． 18．如图①是一打孔器的实物图，如图②是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC．使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AF，FG，FC，此时FG∥BC，若∠DFG＝60°，∠ADF：∠CDF＝4：5．则∠DCB＝　45　 °． 【解答】解：∵AD∥BC，FG∥BC， ∴FG∥BC∥AD， ∵∠DFG＝60°， ∴∠ADF＝∠DFG＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADF：∠CDF＝4：5， ∴， ∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝135°， ∴∠DCB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°， 即∠DCB的度数为45°， 故答案为：45． 19．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　 ． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 20．如图，AB∥CD，∠ABM的角平分线BP交∠HCD的角平分线的反向延长线于点P，直线PB交CD于点N，若∠HCD﹣2∠BNC＝24°，则∠P+∠H＝　36　 °． 【解答】解：如图， 由题意可知，BP平分∠ABM，CQ平分∠HCD， ∴∠ABP＝∠MBP∠ABM，∠DCQ＝∠HCQ∠HCD，． ∵∠HCD﹣2∠BNC＝24°， ∴2∠DCQ﹣2∠BNC＝24°，即∠DCQ﹣∠BNC＝12°， ∵AB∥CD， ∴∠BNC＝∠ABP＝∠MBP∠ABM， ∵∠DCQ是△PCN的一个外角， ∴∠P＝∠DCQ﹣∠BNC＝12°； ∵∠MBP是△PBE的一个外角， ∴∠PEB＝∠HEC＝∠MBP﹣∠P＝∠BNC﹣12°； ∵∠HCQ是△HCE的一个外角， ∴∠H＝∠HCQ﹣∠HEC＝∠DCQ﹣（∠BNC﹣12°）＝∠DCQ﹣∠BNC+12°＝24°； ∴∠P+∠H＝36°． 故答案为：36°． 三、解答题练习 21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置． （1）先将△ABC向右平移4个单位，然后再向下平移3个单位得△A′B′C′，请在网格中直接作出△A′B′C′； （2）若M是AB边的中点，画出平移后的对应点M′，连接MM′、CC′，则MM′、CC′这两条线段的位置和数量关系是　平行且相等　 ． （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，点M'即为所求． 由平移得，MM′、CC′这两条线段的位置和数量关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）△ABC的面积为4． 22．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF，理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝ 　90　 °， 即∠3+∠4＝ 　90　 °（ 　等量代换　 ）， 又∵∠1+∠2＝90°（ 　已知　 ）， 且∠2＝∠3， ∴　∠1　 ＝ 　∠4　 （ 　等角的余角相等　 ）， ∴BE∥DF（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． 【解答】解：BE∥DF，理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°（等量代换）， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， 且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 23．如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°，试说明：BC∥DE． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， ∵∠B+∠D＝180°， ∴∠C+∠D＝180°， ∴BC∥DE． 24．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OF⊥CD，作射线OE平分∠COF． （1）若∠BOE＝105°，求∠AOC的度数； （2）若∠BOE的度数比∠AOC的度数大85°，求∠AOC的度数． 【解答】解：（1）∵OF⊥CD，OE平分∠COF， ∴∠FOC＝90°， ∴， ∵∠BOE＝105°， ∴∠AOC＝180°﹣105°﹣45°＝30°； （2）∵∠AOC+∠BOE+∠EOC＝180°， 又∵∠EOC＝45°， ∴∠AOC+∠BOE＝135°， 又∵∠BOE＝∠AOC+85°， ∴∠AOC＝25°． 25．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝16，BE＝6，CG＝4． （1）BG＝ 　12　 ； （2）求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF， ∴AD＝BE＝6，BC＝EF＝16， ∴BG＝BC﹣CG＝16﹣4＝12， 故答案为：12； （2）∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF，AD＝BE＝6， ∴S阴影部分+S△BDG＝S梯形BEFG+S△BDG，BG＝12，EF＝16， ∴S阴影部分84． 26．如图，已知CD⊥AB于点D，FH⊥AB于点F，∠1与∠2互补． （1）判断DE与BC是否平行，并说明理由． （2）若∠2＝140°，CD平分∠ACB，求∠AED的度数． 【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下： ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴CD∥FH， ∴∠2+∠DCB＝180°， ∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠DCB， ∴DE∥BC； （2）∵由（1）知CD∥FH， ∴∠2+∠DCB＝180°， ∵∠2＝140°， ∴∠DCB＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECB＝2∠DCB＝80°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ECB＝80°． 27．如图，AB∥EF，∠1＝∠2，AF，DF分别平分∠BAD和∠ADC． （1）求证：EF∥CD； （2）求证：AF⊥DF． 【解答】证明：（1）∵DF平分∠ADC， ∴∠1＝∠FDC， ∵∠1＝∠2， ∴∠FDC＝∠2， ∴EF∥CD； （2）∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠EAF， ∵AB∥EF， ∴∠BAF＝∠AFE， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵∠EAF+∠1+∠AFD＝180°， ∴∠EAF+∠AFE+∠1+∠2＝180°， ∴2∠AFE+2∠2＝180°， ∴∠AFE+∠2＝90°， 即∠AFD＝90°， ∴AF⊥DF． 28．已知直线AB∥CD，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG． （1）如图1，若∠BMG＝α，∠DNG＝β，试说明∠G＝α+β； （2）如图2，在（1）的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG＝30°，求∠G+∠P的度数； （3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的平分线，NP平分∠CNG，∠MGN＝108°﹣2∠P，则∠AMP＝ 　48°　 ． 【解答】（1）证明：过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥GH∥CD， ∴∠MGH＝∠BMG，∠NGH＝∠DNG， ∴∠MGH+∠NGH＝∠BMG+∠DNG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH，∠BMG＝α，∠DNG＝β， ∴∠MGN＝α+β； （2）解：过点P作PE∥CD（点E在点P的左侧），如图2所示： ∵MG平分∠BMP，∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝2∠BMG＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴设∠DNG＝∠PND＝θ， ∵AB∥CD，PE∥CD ∴AB∥CD∥PE， ∴∠MPE＝∠BMP＝60°，∠NPE＝∠PND＝θ， ∴∠MPN＝∠MPE﹣∠NPE＝60°﹣θ， 由（1）的结论得：∠G＝∠BMG+∠DNG＝30°+θ， ∠G+∠MPN＝30°+θ+60°﹣θ＝90°； （3）如图，过P作PH∥AB，过G作GK∥AB． ∵AB∥CD， ∴PH∥CD，GK∥CD， ∵MF平分∠PMA，PN平分∠CNG， ∴设∠PMF＝∠AMF＝x°，∠CNP＝∠GNP＝y°， ∵AB∥CD，PH∥CD， ∴∠MPH＝∠AMP＝2x°，∠NPH＝∠CNP＝y°， ∵∠MPN＝∠NPH﹣∠MPH＝（y﹣2x）°， ∵GK∥AB，GK∥CD， ∴∠MGK＝∠FMA＝x°， ∠NGK＝∠GND＝180°﹣∠CNG＝（180﹣2y）°， ∴∠MGN＝∠MGK+∠NGK＝（x+180﹣2y）°， ∵∠MGN＝108°﹣2∠MPN， ∴（x+180﹣2y）°＝108°﹣2（y﹣2x）°， 解得x＝24°， ∴∠AMP＝2x°＝48°． 故答案为：48°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第七章《相交线与平行线》 知识点复习 一、 同一平面内两条直线的位置关系（基础前提） 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种： 或 。（不存在第三种情况） 2. 相交线：两条直线有且仅有 个公共点（交点）。 3. 平行线：两条直线 公共点。（定义） 4. 特别说明：两条直线重合的情况视为同一条直线，不属于本章讨论的位置关系。 二、 相交线 5. 两条直线相交，形成4个角，其中相邻的两个角互为 ， 相对的两个角互为 。 6. 邻补角：有 和 一条公共边，且另一边互为 的两个角。数量关系： 。 7. 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的 的两个角。对顶角的性质： 。 8. 垂直：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，交点叫做 垂足。垂直用符号 表示（如 AB CD）。 9. 在同一平面内，过一点（无论点在直线上或直线外） 有且只有 条直线与已知直线垂直。（垂线的唯一性） 10. 点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段 。这条垂线段的 叫做点到直线的距离。（强调“长度”是数量） 三、 “三线八角”（两条直线被第三条直线所截） 11. 两条直线被第三条直线所截，形成 个角。 12. 同位角：位置在两条直线的 ，且在第三条直线的 。形如 “F”。 13. 内错角：位置在两条直线的 ，且在第三条直线的 。形如 “Z” 。 14. 同旁内角：位置在两条直线的 ，且在第三条直线的 。形如 “U” 。 四、 平行线及其判定 15. 平行公理（基本事实）：经过直线外一点， 有且只有 条直线与这条直线平行。（存在性和唯一性） 16. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 。（符号语言：） 17. 平行线的判定方法： * 判定方法1（同位角）： 相等 ，两直线平行。 * 判定方法2（内错角）： 相等 ，两直线平行。 * 判定方法3（同旁内角）： 互补（和为 180°） ，两直线平行。 * 判定方法4（垂直）：在同一平面内， 垂直于 的两条直线互相平行。 五、 平行线的性质 18. 平行线的性质： * 性质1（同位角）：两直线平行， 相等 。 * 性质2（内错角）：两直线平行， 相等 。 * 性质3（同旁内角）：两直线平行， 互补 。 * 性质4（垂直传递）：如果一条直线 垂直于 平行线中的一条，那么它 垂直于 另一条。 * 性质5（距离定义）：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 都相等。这个距离称为 。（ 平行线间的距离 ） 六、 命题、定理与平移 19. 命题：判断一件事情的语句。由 和 组成。 20. 真命题：正确的命题；假命题：错误的命题。 21. 定理：经过推理证实的 。 22. 平移：在平面内，将图形沿某 移动一定 。平移只改变图形的 ，不改变其 和 。 23. 平移的性质： * 平移前后的图形 。 * 对应点连线 。 * 对应角 。 24. 平移的要素： 和 。 七、 核心总结与易错点 25. 位置关系核心框架：同一平面内 → 不重合两直线 → { 相交（含垂直），平行 }。 26. 核心思想： * 判定：由 → 推 。（角 → 线） * 性质：由 → 推 。（线 → 角） 27. 易错警示： * 所有平行线的定义、公理、判定、性质的前提都是 “在同一平面内” ！空间立体几何中结论可能不成立。 * “垂直同一直线的两直线平行”、“平行同一直线的两直线平行”都需 “在同一平面内” 。 * 点到直线的距离是 垂线段的长度，是数量，不是线段本身。 * 识别同位角、内错角、同旁内角的关键是 位置特征，与角的大小无关。 * 平移不改变图形的形状和大小，对应边相等、对应角相等。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，某农户将水渠AB的水通过引水管道MN引入麦田M处浇地，做法如下：过点M作MN⊥AB于点N，则沿MN铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 2．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠1等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．35° 3．如图，直线l1，l2，l3交于点O，若∠1＝30°，∠2＝110°，则∠3的度数为（　　） A．65° B．75° C．80° D．95° 4．如图，已知a∥b，将三角板ABC的直角顶点A放在直线b上．若∠1＝114°，则∠2 的度数为（　　） A．30° B．26° C．25° D．24° 5．如图，AF∥BC，DB平分∠ADC，DE平分∠CDF交BC的延长线于点E，且 AB∥CD，下列结论中不正确的是（　　） A．BD平分∠ABC B．BD⊥DE C．∠DCE＝2∠FDE D．∠E+∠ADB＝90° 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 7．四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的图案是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AC∥DE，AB∥DF，已知∠BED＝65°，则∠DFC的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 9．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，∠ABO＝α，则下列结论正确的是（　　） A． B．∠BOE＝180°﹣α C．∠BOD＝2α D．∠EOD＝180°+α 10．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝45°，必有∠4＝30°．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①② D．③④ 二、填空题练习 11．如图，∠2的同位角是 　 　 ． 12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝54°时，∠1＝ 　 　 ． 13．如图，CD平分∠ACB，DE∥AC．若∠1＝35°，则∠2＝　 　 度． 14．下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行． 其中假命题有　 　 （填序号）． 15．如图，要使AB∥CD，需要添加的一个条件为 　 　 ． 16．图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你简单地说出其中的数学原理 　 　 ． 17．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD＝4：1，则∠COF＝　 　 ． 18．如图①是一打孔器的实物图，如图②是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC．使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AF，FG，FC，此时FG∥BC，若∠DFG＝60°，∠ADF：∠CDF＝4：5．则∠DCB＝　 　 °． 19．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 20．如图，AB∥CD，∠ABM的角平分线BP交∠HCD的角平分线的反向延长线于点P，直线PB交CD于点N，若∠HCD﹣2∠BNC＝24°，则∠P+∠H＝　 　 °． 三、解答题练习 21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置． （1）先将△ABC向右平移4个单位，然后再向下平移3个单位得△A′B′C′，请在网格中直接作出△A′B′C′； （2）若M是AB边的中点，画出平移后的对应点M′，连接MM′、CC′，则MM′、CC′这两条线段的位置和数量关系是　 　 ． （3）求△ABC的面积． 22．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF，理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝ 　 　 °， 即∠3+∠4＝ 　 　 °（ 　 　 ）， 又∵∠1+∠2＝90°（ 　 　 ）， 且∠2＝∠3， ∴　 　 ＝ 　 　 （ 　 　 ）， ∴BE∥DF（ 　 　 ）． 23．如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°，试说明：BC∥DE． 24．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OF⊥CD，作射线OE平分∠COF． （1）若∠BOE＝105°，求∠AOC的度数； （2）若∠BOE的度数比∠AOC的度数大85°，求∠AOC的度数． 25．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF＝16，BE＝6，CG＝4． （1）BG＝ 　 　 ； （2）求图中阴影部分的面积． 26．如图，已知CD⊥AB于点D，FH⊥AB于点F，∠1与∠2互补． （1）判断DE与BC是否平行，并说明理由． （2）若∠2＝140°，CD平分∠ACB，求∠AED的度数． 27．如图，AB∥EF，∠1＝∠2，AF，DF分别平分∠BAD和∠ADC． （1）求证：EF∥CD； （2）求证：AF⊥DF． 28．已知直线AB∥CD，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG． （1）如图1，若∠BMG＝α，∠DNG＝β，试说明∠G＝α+β； （2）如图2，在（1）的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG＝30°，求∠G+∠P的度数； （3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的平分线，NP平分∠CNG，∠MGN＝108°﹣2∠P，则∠AMP＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$