第八章《实数》 暑假巩固复习 2024--2025学年人教版七年级数学下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第八章《实数》 知识点复习 一、 平方根与算术平方根 1. 如果一个数的 平方 等于，那么这个数叫做 的  。即：如果 ，那么 叫做的  。 2. 求一个数的 平方根 的运算，叫做 。开平方与 互为逆运算 。 3. 正数的 正的 平方根叫做 的 ，记作 ，读作“根号”。规定：0的算术平方根是 。 4, 正数有 平方根，它们互为 相反数；0的平方根是 0；负数   平方根。 5. 对于正数，其平方根可表示为 ，其中 表示 算术平方根。 6. 被开方数的小数点向右（或向左）移动 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动 。 2、 立方根 7. 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做 的 。即：如果，那么叫做 的 立方根。 8. 求一个数 的 立方根 的运算，叫做 。开立方与 互为 逆运算。 9. 一个数 的立方根，记作 ，读作“三次根号 ”。 10. 正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 。 11. 被开方数的小数点向右（或向左）移动 ，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动 位。 12. 立方根等于它本身的数有 。 三、实数及其分类 13. 无限不循环小数 叫做 。常见的无理数类型有： * 开方开不尽的数的方根，如​, ​（但​,​ 等是有理数）。 * 化简后含有的数，如 -π,  2π,  π​。 * 具有特定结构的无限不循环小数，如 0.1010010001…0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）。 14.   和  无理数  统称为 实数。 15. 实数的分类： 3、 实数的性质与运算 17. 实数与数轴上的点是 对应 的。即：每一个实数都可以用数轴上的一 个 来表示；反过来，数轴上的每一个 都表示一个实数。 18. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和求法，与在  范围内相同。 * 实数 的相反数是。 * 实数(a≠0) 的倒数是 。 * 实数 的绝对值：​ 19. 实数可以进行 加、减、乘、除（除数不为0）、乘方 运算。正数和0可以进行   运算，任何一个实数可以进行 运算。 20. 实数的运算律在实数范围内仍然适用： * 加法交换律：  。 * 加法结合律： 。 * 乘法交换律： 。 * 乘法结合律： 。 * 乘法对加法的分配律： 。 21. 有理数的 和 同样适用于实数。 22. 实数的大小比较方法： * 数轴法：右边的点表示的数比左边的点表示的数 。 * 差值法： . * 绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而 。 * 平方法（用于比较正数）：若 ，则 。 * 作商法（用于比较正数）：若 ，则 。 五、 实数的近似计算 23. 对于实数运算，如果涉及无理数且需要具体数值结果，通常取其 近似值 进行计算（如取到小数点后若干位）。 24. 在解决实际问题（如面积、体积计算）时，结果若含无理数，常常根据要求取 近似值 表示（如“精确到0.1”或“保留两位小数”）。 25. 估算一个无理数的大小，常用“夹逼法”，即确定它在哪两个连续的 整数 或 小数 之间。例如： 介于 2 和 3 之间，因为 22=4<5<9=32 。 知识点练习 一、选择题练习 1．9的平方根是（　　） A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3 2．4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 3．下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算或说法正确的是（　　） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 5．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．在这四个数中，无理数是（　　） A．0 B． C．3.14 D． 7．估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．3和2之间 8．观察下面表格，结论不正确的是（　　） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 x2 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大 9．如图，数轴上的点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，它们对应的实数分别为a、b．下列结论中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+b＜0 10．如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　） A． B．﹣1 C． D．0 二、填空题练习 11．写出一个小于5的正无理数是 　 　 ． 12．已知m为整数，且，则m的值为 　 　 ． 13．比较大小：　 　 3．（用不等号连接） 14．如果，那么x﹣y的值为 　 　 ． 15．已知，，则 　 　 ． 16．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 　 　 ． 17．求59319的立方根，解答如下： ①∵，，又∵1000＜59319＜1000000， ∴．∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是　 　 ． 18．在中，无理数有　 　 个． 19．方程x3＝2的根是　 　 ． 20．（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 　 　 ． （2）当时，2x﹣5的值是 　 　 ． 三、解答题练习 21．计算：． 22．解方程： （1）（x+1）2＝49； （2）64x3+27＝0． 23．若5a+1和a﹣19是正数m的平方根．求a和m的值． 24．已知：实数a，b满足． （1）可得a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若一个正实数m的两个平方根分别是2x+a和b﹣x，求x和m的值． 25．如图，计划建一个面积为50米2的长方形苗圃ABCD（AB＜BC），一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2． （1）求BC的长； （2）求出苗圃所用篱笆总长． 26．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n+2的算术平方根是1． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 27．已知2a+3的平方根是±3，b﹣4的立方根是4． （1）求a，b的值； （2）求21a﹣b+6的平方根． 28．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第八章《实数》 知识点复习 一、 平方根与算术平方根 1. 如果一个数的 平方 等于，那么这个数叫做 的  平方根（或二次方根） 。即：如果 ，那么 叫做的  平方根 。 2. 求一个数的 平方根 的运算，叫做  开平方 。开平方与 平方 互为逆运算 。 3. 正数的 正的 平方根叫做 的  算术平方根 ，记作 ，读作“根号”。规定：0的算术平方根是  0 。 4, 正数有  两 个 平方根，它们互为 相反数；0的平方根是 0；负数  没有  平方根。 5. 对于正数，其平方根可表示为 ，其中 表示 算术平方根。 6. 被开方数的小数点向右（或向左）移动  两 位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动  一 位 。 2、 立方根 7. 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做 的  立方根（或三次方根） 。即：如果，那么叫做 的 立方根。 8. 求一个数 的 立方根 的运算，叫做  开立方 。开立方与 立方 互为 逆运算。 9. 一个数 的立方根，记作 ​，读作“三次根号 ”。 10. 正数的立方根是   正数 ，负数的立方根是  负数 ，0的立方根是  0 。 11. 被开方数的小数点向右（或向左）移动  三 位 ，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动  一  位。 12. 立方根等于它本身的数有  -1, 0, 1 。 三、实数及其分类 13. 无限不循环小数 叫做 无理数 。常见的无理数类型有： * 开方开不尽的数的方根，如​, ​（但​,​ 等是有理数）。 * 化简后含有的数，如 -π,  2π,  π​。 * 具有特定结构的无限不循环小数，如 0.1010010001…0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）。 14.  有理数  和  无理数  统称为 实数。 15. 实数的分类： 3、 实数的性质与运算 17. 实数与数轴上的点是   一一 对应 的。即：每一个实数都可以用数轴上的一个  点  来表示；反过来，数轴上的每一个  点  都表示一个实数。 18. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和求法，与在  有理数  范围内相同。 * 实数 的相反数是。 * 实数(a≠0) 的倒数是 。 * 实数 的绝对值：​ 19. 实数可以进行 加、减、乘、除（除数不为0）、乘方 运算。正数和0可以进行  开平方  运算，任何一个实数可以进行  开立方  运算。 20. 实数的运算律在实数范围内仍然适用： * 加法交换律：  a+b=a+b 。 * 加法结合律： 。 * 乘法交换律：  a×b=a×b 。 * 乘法结合律：。 * 乘法对加法的分配律： 。 21. 有理数的 运算法则 和 运算顺序 同样适用于实数。 22. 实数的大小比较方法： * 数轴法：右边的点表示的数比左边的点表示的数  大 。 * 差值法： ，.  ，.  ， . * 绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而  小 。 * 平方法（用于比较正数）：若 ，则 。 * 作商法（用于比较正数）：若 ，则 ，， 。 五、 实数的近似计算 23. 对于实数运算，如果涉及无理数且需要具体数值结果，通常取其 近似值 进行计算（如取到小数点后若干位）。 24. 在解决实际问题（如面积、体积计算）时，结果若含无理数，常常根据要求取 近似值 表示（如“精确到0.1”或“保留两位小数”）。 25. 估算一个无理数的大小，常用“夹逼法”，即确定它在哪两个连续的 整数 或 小数 之间。例如： 介于 2 和 3 之间，因为 22=4<5<9=32 。 知识点练习 一、选择题练习 1．9的平方根是（　　） A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9的平方根为±3． 故选：A． 2．4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【解答】解：4的算术平方根是：， 故选：C． 3．下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、3，故此选项符合题意； B、2，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、±4，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列计算或说法正确的是（　　） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 【解答】解：A．∵0的平方根是0，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵的相反数是，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵2的立方根是，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时， y4， ∵4＞2， ∴把4再次输入数值转换器， y2， ∵2＝2， ∴把2再次输入数值转换器， y． 故选：C． 6．在这四个数中，无理数是（　　） A．0 B． C．3.14 D． 【解答】解：在这四个数中，无理数是， 故选：B． 7．估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．3和2之间 【解答】解：∵， ∴67， ∴51＜6． 故选：A． 8．观察下面表格，结论不正确的是（　　） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 x2 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大 【解答】解：由表格数据可得2.1的平方是4.41，则A不符合题意， 由表格数据可得6.76＜7＜7.29，那么2.62.7，则B符合题意， 由表格数据可得2.4的平方是5.76，那么5.76的算术平方根是2.4，则C不符合题意， 由表格数据可得当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大，则D不符合题意， 故选：B． 9．如图，数轴上的点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，它们对应的实数分别为a、b．下列结论中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+b＜0 【解答】解：由数轴可知，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧， 所以a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，b＞﹣a，a＜b， 选项A： 因为a＜b，两边同时减2， 可得a﹣2＜b﹣2，该选项成立． 选项B： 因为a＜0，b＞0， 那么b﹣a＝b+|a|＞0，该选项不成立． 选项C： 因为a＜b， 两边同时乘以2，可得2a＜2b，该选项不成立． 选项D： 因为a＜0，b＞0，且|a|＜|b|， 所以a+b＝b﹣|a|＞0，该选项不成立． 故选：A． 10．如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴AD， ∵点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，且AD＝AE， ∴点E表示的数为：1， 故选：A． 二、填空题练习 11．写出一个小于5的正无理数是 　π（答案不唯一）　 ． 【解答】解：本题答案不唯一：如π等． 故答案为：π（答案不唯一）． 12．已知m为整数，且，则m的值为 　4　 ． 【解答】解：已知m为整数，且， ∵15＜16＜17， ∴4， 则m＝4， 故答案为：4． 13．比较大小：　＜　 3．（用不等号连接） 【解答】解：（）2＝17，（3）2＝18， ∵17＜18， ∴3． 故答案为：＜． 14．如果，那么x﹣y的值为 　5　 ． 【解答】解：∵， ∴x﹣3＝0，y+2＝0， ∴x＝3，y＝﹣2， ∴x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5． 故答案为：5． 15．已知，，则 　449.9　 ． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：449.9． 16．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 　　 ． 【考点】实数与数轴．版权所 【解答】解：∵OB，OC＝OB， 又∵O为圆心，点C表示的数小于零， ∴点C表示的数是． 故答案为：． 17．求59319的立方根，解答如下： ①∵，，又∵1000＜59319＜1000000， ∴．∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是　68　 ． 【解答】解：∵，， 又∵1000＜59319＜1000000， ∴10100． ∴能确定314432的立方根是个两位数． ②314432的个位数是2，又∵83＝512， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． ③划去314432后面的三位432得到数314， 而， 则6， 可得60，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68． 故答案为：68． 18．在中，无理数有　2　 个． 【解答】解：0是整数；是分数，它们都不是无理数． 无理数有，π共2个． 故答案为：2． 19．方程x3＝2的根是　　 ． 【解答】解：∵x3＝2， ∴x， 故答案为：． 20．（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 　﹣1，1　 ． （2）当时，2x﹣5的值是 　﹣11，﹣10，﹣9　 ． 【解答】解：（1）设这个非零实数为m， ∵一个非零实数的立方根等于这个数本身， ∴m3＝m，则m＝﹣1或m＝1， 故答案为：﹣1，1； （2）由（1）中结论可知，当时，2x+5＝﹣1或2x+5＝0或2x+5＝1，解得x＝﹣3，，x＝﹣2， ∴2x﹣5＝﹣11或﹣10或﹣9， 故答案为：﹣11，﹣10，﹣9． 三、解答题练习 21．计算：． 【解答】解：原式 ． 22．解方程： （1）（x+1）2＝49； （2）64x3+27＝0． 【解答】解：（1）（x+1）2＝49， x+1＝±7， x＝﹣1+7或x＝﹣1﹣7， ∴x＝6或x＝﹣8； （2）64x3+27＝0， 64x3＝﹣27， x3， ∴x． 23．若5a+1和a﹣19是正数m的平方根．求a和m的值． 【解答】解：①当（5a+1）+（a﹣19）＝0， 解得：a＝3， 则m＝（5a+1）2＝162＝256． ②当5a+1＝a﹣19时， 解得：a＝﹣5， 则m＝（﹣25+1）2＝576． 故a的值为3，m的值为256；或a的值为﹣5，m的值为576． 24．已知：实数a，b满足． （1）可得a＝　﹣2　 ，b＝　3　 ； （2）若一个正实数m的两个平方根分别是2x+a和b﹣x，求x和m的值． 【解答】解：（1）∵， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， 故答案为：﹣2，3． （2）由题意可得2x+a+b﹣x＝0， ∴x＝﹣a﹣b． ∵a＝﹣2，b＝3， ∴x＝﹣1， ∵b﹣x＝3﹣（﹣1）＝4 ∴m＝42＝16． 25．如图，计划建一个面积为50米2的长方形苗圃ABCD（AB＜BC），一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2． （1）求BC的长； （2）求出苗圃所用篱笆总长． 【解答】解：（1）设BC＝5x米，则AB＝2x米，由题意得，5x•2x＝50， 解得x（取正值）， 所以BC＝5米，AB＝2米， 答：BC＝5米； （2）苗圃所用篱笆总长为BC+2AB＝549（米）， 答：苗圃所用篱笆总长为9米． 26．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n+2的算术平方根是1． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【解答】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9， ∴2a﹣3+a﹣9＝0， 解得：a＝4， ∴2a﹣3＝5， ∴m＝25， ∵n+2的算术平方根是1 ∴n+2＝1 ∴n＝﹣1； （2）由（1）得m＝25，n＝﹣1， ∴m﹣11n＝25+11＝36， ∴m﹣11n的算术平方根为6． 27．已知2a+3的平方根是±3，b﹣4的立方根是4． （1）求a，b的值； （2）求21a﹣b+6的平方根． 【解答】解：（1）根据算术平方根的定义可得2a+3＝9，解得：a＝3， b﹣4的立方根是4， ∴b﹣4＝43＝64， 解得：b＝68； （2）由a＝3，b＝68， 得：21a﹣b+6＝21×3﹣68+6＝1， 1的平方根为±1． 28．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　7　 ； ③19683的立方根是　27　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【解答】解：（1）①∵， ∵1000＜19683＜1000000， ∴10100， ∴能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ∵73＝343，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则23， ∴2030， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①∵， ∵1000＜110592＜1000000， ∴10100， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ②19683的个位数是2， ∵83＝512，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则45， ∴4050， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 学科网（北京）股份有限公司 $$