第二章有理数的运算（知识框架+知识梳理+ 同步练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

第2章 有理数的运算 一、本章知识框架 二、本章知识梳理 1、加法运算法则： ①同号相加：同号相加， 不变， 相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和 每一个加数，同为负数相加时，和 每一个加数。 ②异号相加：异号相加，取绝对值 的数的符号，再把 做差。大的绝对值减去小的绝对值。 ③与0相加：任何数与0相加都等于 。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 2．有理数加法的运算定律： ①加法交换律：交换加数的位置，和 。。 ②加法结合律：三个加数相加时，先把 加数相加或先把 加数相加，和不变。即： 有理数加法计算时的技巧： （1） 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2） 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3） 凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4） 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 ） 3、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于 这个数的 . 4、有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成 ． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 5、乘法运算法则： 有理数乘法运算法则：（1）两数相乘， ，并把绝对值相乘. （2）0与任何数相乘都得 . 法则的推广：（1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的 ，再确定积的绝对值. （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于 ．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3）几个不是0的数相乘，积的符号由 决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀： ） 注意：（1）任何数与1相乘都等于它 ，任何数与－1相乘都等于它的相反数. （2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 6、有理数乘法的运算定律： 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 7、除法运算法则： 有理数除法运算法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即：a÷b = a×（b≠0）. （2）两数相除， ， ，并把绝对值相除. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 注意：（1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. （2）0不能作除数，0作除数时无意义； 8、．有理数四则运算法则： 运算顺序：如果无括号，那么要按照“ ”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 注意：①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. 9、乘方的定义： 一般地，n个相同的因数a相乘，即 ，记作 ，读作 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫 10、乘方的运算： （1）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； （2）正数的任何正整数次幂都是 ， 0的任何正整数次幂都是 11、科学记数法： 科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法. 如何用科学记数法来表示数： 方法一：小数点往左移动几位，则 10 的指数就是几； 方法二：10 的指数是原数整数位数减 1，即若原数是 n 位整数，则 10 的指数为 . 12、还原用科学记数法表示的数 如果用科学记数法表示的数 10 的指数是 n，那么原数有 位整数位. 13、准确数与近似数 （1）在许多情况下，我们难以取得准确的数或不必要使用精确数，这是我们就可以使用近似数。 （2）有时我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的，这些数都是近似数. 14、按要求取近似值 四舍五入法：按需要截取到指定数位时，如果省略部分的数小于5，就直接舍去；若大于等于5，则向前进一位。几种表示方式：①精确到百分位；②保留2为小数；③保留3位有效数字 按四舍五入法对圆周率 π 取近似数，有 π≈3 (精确到个位)， π≈3.1 (精确到 0.1，或叫做精确到十分位)， π≈3.14 (精确到 0.01，或叫精确到百分位)， π≈3.142 (精确到 0.001，或叫做精确到千分位 )， π≈3.1416 (精确到 0.0001，或叫做精确到万分位)， 三、本章知识精练 一、单选题 1． 的倒数是（   ） A． B．2024 C． D． 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 5．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 6．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 7．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．规定，则．同理可得，等于（   ） A．24 B．30 C．12 D．50 10．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的倒数是 ． 12．计算： ． 13．规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 14．若，是有理数，且，则的值为 ． 15．计算：的是 ． 三、解答题 16．计算 (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．出租车司机小王某天下午的营运是在市内南北走向的公路上进行的，如果向南记作“”，向北记作“”，他这天下午行车情况如下：，，，，，，，．（单位：千米，每次行车都有乘客） 请回答： (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，则小王这天下午耗油费用多少钱？ (3)规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；如果超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 19．观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想：__________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②__________； (3)探究并计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第二章 有理数的运算 1．C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选C． 2．B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了负数的定义，以及相反数、绝对值和有理数的乘方，掌握以上只是是解题的关键，先计算各选项，再判断结果为负数的选项． 【详解】A． ，不是负数，该选项不符合题意； B． ，不是负数，该选项不符合题意； C． ，不是负数，该选项不符合题意； D． ，是负数，该选项符合题意， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 由，可得，于是得解． 【详解】解：，， ， ， 故选：． 5．A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了数轴、绝对值以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是判断式子正负的关键． 根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴正确的是①②③，④错误， 故选B． 7．A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 8．D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 9．B 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数混合运算，按照新定义及有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：依题意， 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义是解题的关键．根据图中的含义写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查倒数，根据两个数的乘积为1，这两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了有理数的减法计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 14．1 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键． 直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质，进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1 15． 【分析】此题考查了有理数的混合运算．逆用乘法分配律计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．(1)； (2)． 【分析】（）根据乘法分配律计算即可； （）先算乘方和括号内的式子、再算乘法、最后算减法即可； 本题考查了有理数的运算，运算律，运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，把百分数化为分数，把分母相同的结合起来，再根据分数加减混合运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数乘除运算法则计算即可； （3）先算乘方，括号，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 18．(1)小王在下午出车的出发地的南方，距下午出车的出发地9千米远 (2)小王这天下午耗油费用是59.4元 (3)小王这天下午收到乘客所给车费共106元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数加法，乘法的实际应用，绝对值的应用，注意路程一定不是负数． （1）先求解记录的数的代数和，再根据和的结果作出判断即可； （2）先求解路程和，再乘以每千米耗油0.3升，乘以每升汽油6元，从而可得答案； （3）分别计算每次的车费，再把这8次的车费相加即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）． 答：小王在下午出车的出发地的南方，距下午出车的出发地9千米远． （2）解：小王这天下午共行驶路程为（千米），小王这天下午耗油费用为（元）． 答：小王这天下午耗油费用是59.4元． （3）解：3千米以内收取的费用为（元）， 超过3千米部分收取的费用为（元）， 所以总费用为（元）． 答：小王这天下午收到乘客所给车费共106元． 19．(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及异分母分式的减法，解答的关键是分析出所存在的规律并灵活运用． （1）仿照例题，裂项相消可得； （2）①仿照例题，用裂项相消的方法，将式子①化简，计算求解即可；②用裂项相消的方法，将式子②化简，计算求解即可； （3）根据（2）的方法将所求式子用裂项相消的方法化简求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ； ② ； （3）原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$