专题04 实数相关能力提升题分类训练（4种类型40道）-【暑期培优】2024-2025学年七年级下册数学暑假培优计划（人教版，重庆专用

专题04 实数相关能力提升题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 实数估值】 1 【题型2实数相关规律性问题】 2 【题型3 整数部分与小数部分】 3 【题型4 实数相关阅读材料题】 4 【题型1 实数估值】 1．估计的运算结果应在（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 2．实数比较大小估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 7．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间 8．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．和0之间 C．2和3之间 D．和之间 10．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【题型2实数相关规律性问题】 11．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 12．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 13．已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 14．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 16．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 17．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 18．已知按照一定规律排成的一列实数：，…．按此规律可推得这一列数中的第2025个数是（   ） A． B． C． D． 19．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 20．小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 整数部分与小数部分】 21．的整数部分是 ，小数部分是 ． 22．估算的整数部分 ． 23．的整数部分是 ，小数部分是 ． 24．若设的整数部分为，则的值为 ． 25．已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 26．已知是的整数部分，是的小数部分，，则 ． 27．已知为的整数部分，则的值为 ． 28．若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 29．若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 30．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【题型4 实数相关阅读材料题】 31．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 32．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 33．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 34．先阅读材料，再解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用下面方法表示． ， 即， 的整数部分是1，小数部分为． (1)根据上面的方法，求出的小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 35．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 36．【阅读材料】 对于实数，我们规定：用表示的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即． 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有的整数值． 【拓展】 （3）如果我们将正实数的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 37．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 38．先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 39．阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 40．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数相关能力提升题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 实数估值】 1 【题型2实数相关规律性问题】 4 【题型3 整数部分与小数部分】 10 【题型4 实数相关阅读材料题】 13 【题型1 实数估值】 1．估计的运算结果应在（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，由，得，即，故有，从而求解，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的运算结果在和之间， 故选：． 2．实数比较大小估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要查了无理数的估算．通过比较平方数的大小确定的范围． 【详解】解：∵， ∴． 即的值在4和5之间． 故选：C 3．估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数大小估计等知识点，掌握夹逼法是解题的关键． 先估算，再根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 4．估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值，先估算出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 6．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握该知识点是解题的关键．由于，根据算术平方根得到，即可判断的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即：的值在3到4之间； 故选B． 8．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 9．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．和0之间 C．2和3之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 10．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的值，计算出结果即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，取近似值约为2.828， ∵ ，， ∴ ，取近似值约为2.236， ∴， 再除以2得：， ∵ ， ∴ 结果在2和3之间， 故选：C． 【题型2实数相关规律性问题】 11．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 12．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第一行                   第二行                       第三行                     第四行                                       由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第八行共有个数，末尾数为， ∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D． 13．已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有关的规律探索，将化成是解题的关键． 根据，再把代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 14．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ∵， ∴， 故选：B． 16．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 17．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，…， ， 故选：D． 18．已知按照一定规律排成的一列实数：，…．按此规律可推得这一列数中的第2025个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：由条件可知：这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第2025个数应是， 故选：C． 19．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 20．小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 【题型3 整数部分与小数部分】 21．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 10 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解：， ，则， 的整数部分为：10， 小数部分为， 故答案为：，． 22．估算的整数部分 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5， 故答案为：5． 23．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键． 先利用算术平方根确定的范围，再确定的整数和小数部分． 【详解】解：∵， ∴． ∴，即． ∴的整数部分是2，小数部分是． 故答案为：． 24．若设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围是解题的关键．先确定的取值范围，再据此推出的取值范围，从而得到其整数部分 ． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 在不等式两边同时加，可得， 即， ∴的整数部分 ． 故答案为： ． 25．已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】因为，则，可知的整数部分为3，则小数部分为， 本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分为：， 故答案为：． 26．已知是的整数部分，是的小数部分，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查无理数的估算，代数式的求值，掌握无理数的估算得到的值是解题的关键． 根据题意得到得 ，，，分类代入计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴ ，，， 当时，； 当 时，； 故答案为：或． 27．已知为的整数部分，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键； 本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4； 故答案为：4； 28．若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出、的值． 根据，可得出，，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴ ． 故答案为：16． 29．若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 30．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算出的范围，根据可得，的值，最后代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【题型4 实数相关阅读材料题】 31．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 32．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 33．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2）画图见解析， 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键． （1）首先估算出，然后求出，，然后代入求解即可． （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 由，可忽略， ∴，得到，即． 34．先阅读材料，再解答问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用下面方法表示． ， 即， 的整数部分是1，小数部分为． (1)根据上面的方法，求出的小数部分； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相反数的定义，无理数的估算，无理数的整数部分以及小数部分，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据得，即可求出的小数部分； （2）同理得的整数部分为4，小数部分为，再结合，其中是整数，且，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 的小数部分是； （2）解：∵ ， 的整数部分为4，小数部分为，, ， ，其中是整数，且， ，， ， ， 的相反数是． 35．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得，即可求解； ②根据关系得，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 36．【阅读材料】 对于实数，我们规定：用表示的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即． 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有的整数值． 【拓展】 （3）如果我们将正实数的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【答案】（1）3；（2）4或5或6或7或8；（3）3次． 【分析】本题考查了无理数的估算、算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算出，即可得解； （2）由题意可得，由此即可得解； （3）根据题干所给例子，结合算术平方根，计算即可得解． 【详解】解：（1）因为， ∴，即， ∴． （2）因为，，， 所以， 所以的整数值为4或5或6或7或8． （3）因为， 所以，即， 故第1次运算：，11的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第2次运算：，的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第3次运算：，1的算术平方根为1． 故对实数经过3次运算之后的结果是1． 37．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】或 【分析】本题考查求一个数的平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵m，n都是有理数， ∴为有理数， ∵为无理数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的平方根为或． 38．先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 39．阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，，代入计算即可； （3）根据题意得到，，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）解：的小数部分为，的整数部分为，， ，， ； （3）解：是有理数，且满足等式， ，， ， ， 或， 当时，； 当，时，， 综上所述，的值为或． 40．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分为5，的整数部分为2，即， ∴的小数部分为，即． ∴； （2）解：∵面积是5的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算， ∵， ∴， ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$