精品解析：河南省信阳市2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据阶乘的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意缩小样本空间，由古典概型概率公式可得. 【详解】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题， 即在3道选择题2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率. 故选：B． 3. 根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（ ） A. B. C. 0.34 D. 0.88 【答案】A 【解析】 【分析】由散点可得变量和变量负相关，且相关性较强，可得结论. 【详解】由散点图知，变量和变量负相关，且相关性较强，所以样本相关系数． 故选：A． 4. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ ）（附：） A. 婴儿90%在白天出生 B. 婴儿性别与出生时间无关联 C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【解析】 【分析】求出并与比较即可求解. 【详解】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 5. （哪吒之魔童闹海）在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：利用组合数公式结合古典概型概率公式求解即可；法二：利用排列数公式结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】解法1：从6个位置中选2个摆放哪吒模型，有种方法， 两个哪吒相邻等价于从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型，有种方法， 所求概率为． 故选：C． 解法2：先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人（剩下两个位置放哪吒模型），有种方法， 两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起，与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全排列，有种方法， 所求概率为． 故选：C． 6. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 7. 随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得的值，进而求得方差. 【详解】由已知可得：得． ． 故选：C． 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 1.28 B. 1.6 C. 6.4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 在上单调递减 B. 为的极小值点 C. 函数有极大值 D. 函数有三个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数解析式特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值零点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项A正确； 不是的极值点，选项B错误； 2为的极大值点，函数有极大值，选项C正确； 由于不知道的极小值与极大值的符号， 所以不能确定函数的零点的个数，选项D错误． 故选：AC． 10. 我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的性质可得，，进而判断各选项即可. 【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 11. 甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，甲得1分的概率为 B. 当时，甲至少得1分的概率为 C. 当时，乙最多得2分的概率为 D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，设甲得分为，，计算出甲得1分和甲至少得1分的概率，A错误，B正确；C选项，设乙的得分为，计算出，C正确；D选项，求出的分布列，得到，结合，作差得到，解不等式，求出，得到答案. 【详解】对于AB选项，当时，设甲得分为，则， 所以， ，A错误，B正确； 对于C，设乙的得分为，则可取0，2，4，6． 当时，，，则，C正确； 对于D，，，，， 的分布列为： 0 2 4 6 ， 因为，， 由， 令，即，解得， 即当时，，选项D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】由正态密度曲线的性质可得，所以． 故答案：. 13. 曲线在处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得与，可求切线方程. 【详解】记，，，又． 所以，曲线在处的切线方程为， 即． 故答案为：. 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有_____种． 【答案】2016 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理，结合不相邻问题列式求解. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有站法种． 故答案为：2016. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，求解即得； （2）由展开式的通项公式可知展开式的各项系数的正负，令即得； （3）两边对求导，再令即得到所求. 【小问1详解】 令，得．令，得， 所以． 【小问2详解】 令，得， 所以， 【小问3详解】 两边对求导， 得， 再令，得． 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．从该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联？ （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析；认为“AI达人”与性别无关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想可得结论； （2）由分层抽样等比例性质确定7人男女的分布，进而得到随机变量的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式即可求解. 【小问1详解】 列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设“AI达人”与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，因此认为“AI达人”与性别无关． 【小问2详解】 在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人，其中，男“AI达人”抽取人， 女“AI达人”抽取3人，的所有可能取值为0，1，2． 则，，． 所以，的分布列如下： 0 1 2 的数学期望． 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值：，，，，，． （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1） （2）①0.0072 ；② 【解析】 【分析】（1）根据公式求出和，可得关于的经验回归方程； （2）①利用全概率公式可求出结果；②根据贝叶斯公式求出一件合格品是设备生产的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果. 【小问1详解】 ，． ，， 关于的线性回归方程为：． 所以关于的回归方程为． 小问2详解】 设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，， 则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②， 即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）若的极小值小于，求的取值范围； （2）当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 【答案】（1） （2）函数有两个不动点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性及极小值为，从而得到不等式，求出答案； （2）解就是函数的不动点，令，二次求导，结合零点存在性定理得到在，内各仅有一个零点，有两个不动点，设是的零点，则，又推出，所以也是的零点，得到所有不动点之和为0． 【小问1详解】 ， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为． 由，解得． 故的取值范围为； 【小问2详解】 当时，，依题意方程， 即的解就是函数的不动点． 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以，在上递减，在上递增， 又，，且当时，． 所以，存在唯一，，使． 当时，，即，当时，，即， 所以，在上递减，在上递增． 所以，． 因为，即，也即 所以． 又． 根据零点存在定理，在，内各仅有一个零点， 所以，有且仅有两个零点．即函数有两个不动点． 设是的零点，则， 又， 所以也是的零点． 故所有零点之和等于零．即函数所有不动点之和等于零． 19. 第届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分，答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）学生甲随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； （2）若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为，求与． 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）求出、的值，根据题意求出的递推公式，推导出数列为常数列，再利用待定系数法求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 的可能取值为、、、 ，， ，． 的分布列为 所以，． 【小问2详解】 ，， 当时，若甲已答过题累计得分为分，可由以下两种情况得出： ①甲已答过的题累计得分为分，下一个题答错得分， ②甲已答过的题累计得分为分，下一个题答对得分， 所以，即， 所以，数列为常数列． 又，所以， 则，所以，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 当时，上式也成立． 所以，对任意的，． . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 2. 某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ） A. B. C. D. 3. 根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（ ） A B. C. 0.34 D. 0.88 4. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ ）（附：） A. 婴儿90%在白天出生 B. 婴儿性别与出生时间无关联 C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 5. （哪吒之魔童闹海）在全球热映创下中国电影多项记录，影片角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 1.28 B. 1.6 C. 6.4 D. 8 二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 在上单调递减 B. 为的极小值点 C. 函数有极大值 D. 函数有三个零点 10. 我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，甲得1分的概率为 B. 当时，甲至少得1分的概率为 C. 当时，乙最多得2分概率为 D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则_____． 13. 曲线在处的切线方程为_____． 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有_____种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．从该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联？ （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值：，，，，，． （1）求关于经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）若的极小值小于，求的取值范围； （2）当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 19. 第届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分，答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）学生甲随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； （2）若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为，求与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$