调和中点模型讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、长郡这道中点模型 二、高考中的调和线束中点模型 三、以往高考中的调和线束中点模型 四、近期模考卷中的调和线束模型 五、何谓调和线束中点模型？ 1、调和线束中点模型 2、中点模型在圆锥曲线中的应用 一、长郡这道中点模型 【长沙长郡中学25 届高三月考（六）T17】已知 在椭圆 上，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点（异于点 ），过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， . （1） 试探究 是否为定值，并给出理由； （2） 证明：直线 过线段 的中点. 解析： （1） 题图 （2） 二、高考中的调和线束中点模型 【2024年全国甲卷（文理）T20】 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上,且 轴. （1） 求椭圆 的方程； （2） ，过 的直线与椭圆 交于 两点， 为 的中点，直线 与 交于 ，证明： 轴. 解析： （1） （2） 图 1 三、以往高考中的调和线束中点模型 【2022年北京卷 T19】 已知椭圆 的一个定点为 ，焦距为 （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 . 当 时，求 的值. 解析： （1） （2） 图 2 【2023 年全国乙卷】 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上． （1） 求 的方程． （2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点． 解析： （1） （2） 图 3 【2022 年全国乙卷】 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 、 轴，且过 ， 两点. （1） 求 的方程； （2） 设过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 ，证明: 直线 过定点. 解析： （1）（2） 图 4 注： 从以上四道高考题可以看出其知识背景是完全一样的——调和线束的中点模型，可以概括到一般情况的，即如下结论 【结论】 过椭圆外任意一点 作椭圆的两条切线分别切于点 ，过点 作任意一条直线交椭圆于点 ，交直线 于点 ，作直线 平行于或 （或 ） 交直线 于点 ，交 （或 ） 于点 ，则有满足 证明： 图 5 四、近期模考卷中的调和线束模型 尽管以后几年高考可能不会再出了这种模型了，但是模考卷就不好说了。很多模考卷都是这种模型，比如广州24届12月调研考T22、福建24 届高三名校联盟 T19、浙江Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）24届二联T20、安徽24届“江南十校”联考T18、福建24届四校第二次联考T18等等. 【浙江Z20名校联盟24届二联T20】 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，，点 在 的渐近线上，且满足 （1） 求 的方程； （2） 点 为 的左顶点，过 的直线 交 于 两点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，证明：线段 的中点为定点. 图 6 解析： （1） （2） 【福建24届四校第二次联考T18】 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上． （1） 求 的方程． （2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点． 图 7 解析： 此题就是2023年全国乙卷圆锥压轴T20（四校为永春一中、培元中学、季延中学、石光中学，地方联考用高考题也无可厚非），这里再用调和线束中点模型来分析一下 （1） （2） 【24届安徽“江南十校”联考T18】 已知矩形 中，，， 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，如图建立平面直角坐标系．直线 ， 上的动点 满足 ， （1） 求直线 与直线 交点 的轨迹方程； （2） 当 时，过点 的直线 （与 轴不重合）和点 的轨迹交于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ．设直线 与 轴交于点 ，求 面积的最大值． 图 8 解析： （1） （2） 图 9 图 10 【福建24 届高三名校联盟 T19】 已知椭圆 的方程为 ， 为 的左顶点， 为 的上顶点， 的离心率为 ， 的面积为 （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点 的直线交 于 、 两点，过点 且垂直于 轴的直线交直线 于点 ，证明：线段 的中点在定直线上. 图 11 解析： （1） 【广州24届12月调研考T22】 在平面直角坐标系 中，点 ，点 是平面内的动点 . 若 为直径的圆与圆 内切，记点 的轨迹为曲线 （1） 求 的方程； （2） 设点 ，， ，直线 ， 分别与曲线 交于点 ， （， 异于 ），垂足为 ，求 的最小值 . 解析： （1） （2） 图 12 图 13 图 14 五、何谓调和线束中点模型？ 1、调和线束中点模型 调和线束中点模型： 调和线束 交于点 ，即 ，作直线 平行于 ，与直线 分别交于点 ，则 图 15 证明： 注1： 作调和线束中任意一条的平行线与另外三条分别相交于三点，中间那个点必然是中点。 2、中点模型在圆锥曲线中的应用 中点模型在圆锥曲线中的应用方式是非常多样的，随着调和线束选择的不同，以及割线的不同，就可以得到中点模型的各种不同表现形式。比如下图 16 图 16 直线 为点 的极线，交椭圆于点 ，过 作椭圆割线 交 于点 ，则直线 为调和线束，过 作直线 平行于切线 ，分别交直线 、 于点 ，则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、长郡这道中点模型 二、高考中的调和线束中点模型 三、以往高考中的调和线束中点模型 四、近期模考卷中的调和线束模型 五、何谓调和线束中点模型? 1、调和线束中点模型 2、中点模型在圆锥曲线中的应用 一、长郡这道中点模型 【长沙长郡中学 25 届高三月考(六)T17】已知 在椭圆 上,过点 的直线 交椭圆 于 两点(异于点 ),过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ,设直线 的斜率分别为 . ( 1 )试探究 是否为定值,并给出理由； (2)证明:直线 过线段 的中点. 解析: 题图 (2)如图,点 的关于椭圆 极线为 ,即直线 设点 的极线与 交于点 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直线 , 为调和线束 又 轴,且 轴截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点即直线 过线段 的中点. 二、高考中的调和线束中点模型 【2024 年全国甲卷(文理)T20】已知椭圆 的右焦点为 ,点 在椭圆 上,且 轴. (1)求椭圆 的方程； (2) ,过 的直线与椭圆 交于 两点, 为 的中点,直线 与 交于 ,证明: 轴. 解析: (1) (2)点 关于椭圆 的极线为 ,即 如图 1,设点 的极线与 交于点 图 1 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直线 , 为调和线束 又 轴截调和线束中的 于点 ,且点 为 的中点由调和线束的中点模型可知 轴必与调和线束中剩下的 平行,即 轴. 三、以往高考中的调和线束中点模型 【2022 年北京卷 T19】已知椭圆 的一个定点为 , 焦距为 (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ,直线 分别与 轴交于点 . 当 时,求 的值. 解析: (1) (2)如图 2,设椭圆 的左顶点为 , 点 关于椭圆 的极线为 ,即直线 设点 的极线 与 交于点 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直线 , 为调和线束 图 2 又 轴,且 轴截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点 又 ,则 又 ,则直线 ,直线 因此分别联立椭圆即可得 【2023 年全国乙卷】已知椭圆 的离心率为 ,点 在 上. (1)求 的方程. (2)过点 的直线交 于点 两点,直线 与 轴的交点分别为 ,证明: 线段 的中点为定点. 解析: (1) (2)如图 3 ,设椭圆 的上顶点为 , 图 3 点 的关于椭圆 极线为 ,即直线 设点 的极线 与 交于点 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直线 , 为调和线束 又 轴,且 轴截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点 【2022 年全国乙卷】已知椭圆 的中心为坐标原点,对称轴为 、 轴,且过 两点. (1)求 的方程； (2)设过点 的直线交 于 两点,过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ,点 满足 ,证明: 直线 过定点. 解析: (1) . (2)点 的关于椭圆 极线为 ,即直线 如图 4,设点 的极线 与 交于点 图 4 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直 线 为调和线束 又 轴 ,且直线 截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点 又点 满足 ,则点 与点 重合,即点 在 上 则直线 恒过点 注: 从以上四道高考题可以看出其知识背景是完全一样的——调和线束的中点模型, 可以概括到一般情况的, 即如下结论 【结论】过椭圆外任意一点 作椭圆的两条切线分别切于点 ,过点 作任意一条直线交椭圆于点 ,交直线 于点 ,作直线 平行于或 (或 ) 交直线 于点 ,交 (或 ) 于点 ,则有满足 证明: 如上图 5, 为切线,可以得到直线 是点 对应的极线,即 是调和点列,从而 是调和线束,若直线 平行于 ,依调和线束的中点模型,则有 为 的中点。 图 5 四、近期模考卷中的调和线束模型 尽管以后几年高考可能不会再出了这种模型了, 但是模考卷就不好说了。很多模考卷都是这种模型,比如广州 24 届 12 月调研考 T22、福建 24 届高三名校联盟 T19、浙江 Z20 名校联盟(名校新高考研究联盟)24 届二联 T20、安徽 24 届“江南十校”联考 T18、福建 24 届四校第二次联考 T18 等等. 【浙江 Z20 名校联盟 24 届二联 T20】已知双曲线 的左右焦点分别为 ,点 在 的渐近线上,且满足 . (1)求 的方程； (2)点 为 的左顶点,过 的直线 交 于 两点,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ,证明: 线段 的中点为定点. 解析: 图 6 (1) (2)点 关于双曲线 的极线为 如图 6,设点 的极线与 交于点 直线 为过点 的双曲线的割线,则 为调和点列,则直 线 为调和线束 又 轴,且 轴截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点 则 的中点为直线 与 轴的交点,即 . 【福建 24 届四校第二次联考 T18】已知椭圆 的离心率为 ,点 在 上. (1) 求 的方程. (2)过点 的直线交 于点 两点,直线 与 轴的交点分别为 ,证明: 线段 的中点为定点. 图 7 解析:此题就是 2023 年全国乙卷圆锥压轴 T20(四校为永春一中、培元中学、季延中学、石光中学,地方联考用高考题也无可厚非),这里再用调和线束中点模型来分析一下 (1) (2)如图 7 ,设椭圆 的上顶点为 , 点 的关于椭圆 极线为 ,即直线 设点 的极线 与 交于点 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,则直线 , 为调和线束 又 轴,且 轴截调和线束中的 于点 根据调和线束的中点模型,点 为 的中点 【24 届安徽“江南十校”联考 T18】已知矩形 中, , 分别是矩形四条边的中点,以矩形中心 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,如图建立平面直角坐标系. 直线 上的动点 满足 . ( 1 )求直线 与直线 交点 的轨迹方程； (2)当 时,过点 的直线 (与 轴不重合)和点 的轨迹交于 两点,过点 作直线 的垂线,垂足为点 . 设直线 与 轴交于点 ,求 面积的最大值. 解析: 图 8 (1) (不含点 (2)由题意得 ,即为点 的轨迹的左焦点 直线 为点 的轨迹的左准线,也就是焦点 的准线 图 9 如图 9,设点 的极线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 , 直线 为过点 的椭圆的割线,则 为调和点列,即直线 为调和线束 又 轴,且 轴交另三条线束于 则 为 的中点,即 即直线 恒过定点 图 10 设 ,故 面积为 然后联立直线 与椭圆即可, 面积的最大值为 【福建 24 届高三名校联盟 T19】已知椭圆 的方程为 为 的左顶点, 为 的上顶点, 的离心率为 的面积为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 的直线交 于 、 两点,过点 且垂直于 轴的直线交直线 于点 ,证明: 线段 的中点在定直线上. 图 11 解析: (1) · (2)下面以调和线束中点模型来解释 如图 11,设点 的极线与 交于点 , 直线 为过点 椭圆的割线,则直线 为调和线束 又 ,则 的中点在直线 上,在点 的极线上。 注: 此题并不难,利用 重合的极限情况,很容易得到线段 的中点在点 的极线上。 【广州 24 届 12 月调研考 T22】在平面直角坐标系 中,点 ,点 是平面内的动点. 若 为直径的圆与圆 内切,记点 的轨迹为曲线 (1)求 的方程； (2)设点 , , ,直线 , 分别与曲线 交于点 ,垂足为 ,求 的最小值. 图 12 解析: (1) (2) 图 13 如图 12,记 ,又 ,由 , 显然 关于 对称,即 ,过 作 的平行线,交 于 , 连接 交 于 ,根据调和线束的中点模型,于是 为调和线束,于是 为调和点列,即得到直线 为 点的极线。从而 因此点 在以(1,1)为圆心 1 为半径的圆周上运动,所以 图 14 五、何谓调和线束中点模型? 1、调和线束中点模型 调和线束中点模型: 调和线束 交于点 ,即 ,作直线 平行于 ,与直线 分别交于点 ,则 图 15 证明: 由 ,所以 即 由正弦定理得 因此 注 1:作调和线束中任意一条的平行线与另外三条分别相交于三点,中间那个点必然是中点。 2、中点模型在圆锥曲线中的应用 中点模型在圆锥曲线中的应用方式是非常多样的, 随着调和线束选择的不同, 以及割线的不同, 就可以得到中点模型的各种不同表现形式。比如下图 16 图 16 直线 为点 的极线,交椭圆于点 ,过 作椭圆割线 交 于点 ,则直线 为调和线束,过 作直线 平行于切线 ,分别交直线 于点 ,则 学科网（北京）股份有限公司 $$