精品解析：云南省曲靖市陆良县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

陆良县2024-2025学年下学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占40%，必修第二册第六章至第八章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 7 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. “”是“”（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（ ） A. B. C. ， D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是，，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（ ） A. B. C. 的最小值是3 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 已知，，且，则的最小值是__________. 14. 某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，E，F分别为，中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在上恰有3个零点，求的取值范围. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆良县2024-2025学年下学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占40%，必修第二册第六章至第八章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则. 故选：B. 2. 已知向量，，则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由向量减法运算、模的坐标计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】把变为就可以看出怎么平移. 【详解】∵，∴把函数的图象向右移个单位就可得到函数的图象. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题. 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，解得. 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 6. 已知是定义在上奇函数，且，则（ ） A B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，解得. 故选：B. 7. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示， 因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 8. 如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由， 则. 在中，可得， 由正弦定理，可得，解得， 在中， 由余弦定理， 可得，解得， 所以两个目标点间的距离为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，若，，，则平行或异面，A错误. 对于B，若，，，则，B正确. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则或与相交，D错误. 故选：BC 11. “赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是，，，，，的中点，O是正六边形的中心，P是正六边形内的一动点（包含边界），，则（ ） A. B. C. 的最小值是3 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由图形的几何性质，连接辅助线，构造平行四边形与三角形，利用向量的线性运算，可得其正误；对于CD，由图形的几何性质，明确取得最值得动点位置，利用数量积的定义，可得其正误. 【详解】连接，则O为线段的中点. 连接，易证四边形，均为平行四边形，则. 连接，则A，M，E三点共线，且， 所以，A错误. 由正六边形的性质可得，， 则，B正确. 作，垂足为N. 当P与H重合时，取得最小值. 因为，所以. 因为H为线段的中点，所以N为线段的中点， 所以，则，C正确. 延长，交线段于点，则为线段的中点. 因为，所以. 因为，所以，所以. 当P在线段上时，取得最大值，，D正确 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式、两角差的正弦公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由乘一法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 14. 某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 【答案】 【解析】 【分析】只需根据题意求得该球形创意冰激凌的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设，分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心， 四边形是该圆台容器的轴截面，圆是球形创意冰激凌的截面， ，分别为圆切，的切点，则，. 作，垂足为，则，，. 因为，所以， 则，即该球形创意冰激凌的半径为4， 故该球形创意冰激凌的体积为立方厘米. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. 【小问2详解】 由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点G，则，，得出四边形是平行四边形，从而得出，进而证明平面； （2）通过给定条件的几何性质，证明与平面内两条相交的直线垂直，从而得出平面. 【小问1详解】 证明：如图，取直线的中点，连接，， 因为是的中点，所以，. 又因为底面ABCD为菱形，是BC的中点，所以，， 即四边形BEFG为平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为底面为菱形，，E是的中点， 所以，则， 又平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，F是PD的中点，所以， 又因为，所以平面. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知的面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）①，或，；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化为边后计算即可得； （2）①借助面积公式计算即可得；②借助余弦定理可得，则可得，再借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 得； 【小问2详解】 ①由题意得，则， 则有，解得或， 故，或，； ②由余弦定理得， 则， 设外接圆的半径为，由正弦定理得，得. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求得周期以及，进一步由的图象经过点求得，再由的图象经过点求得即可得解； （2）由可得，再结合三角函数性质即可得解； （3）由可得，结合题意列不等式即可求解. 【小问1详解】 由图可知的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以由图可得， 所以. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，则. 【小问2详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以. 因为在上恰有3个零点，所以， 解得，即的取值范围为. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先设的面积为，三棱柱的高为，得到三棱柱的体积.①作，交于点，连接，求证平面平面得到为棱的中点，进而依次得三棱柱的体积、三棱锥的体积，从而得三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②求证得到，从而求出三棱锥的体积即可由重合度定义求解. （2）先设，进而求出三棱柱与三棱锥重合部分的体积，接着求出进而求出，从而求出三棱锥的体积，再由重合度定义列出关于的方程即可求解. 【小问1详解】 设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 【小问2详解】 设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $