第二十三章 圆 单元强化练习 2025--2026学年人教版九年级数学上册

2025年人教版九年级数学单元强化练习-第二十三章 圆（广州专用） 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 题号 1 4 7 8 10 13 16 19 22 23 24 答案 C C C B D B B A C A C 题号 30 31 33 35 37 答案 C D B B B 一．垂径定理（共3小题） 1．（2024秋•天河区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【解答】解：连接OA，则OA＝10cm， ∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm， ∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm）， ∵OC＝10cm， ∴CD＝OC﹣OD＝4cm， 故选：C． 2．（2024秋•番禺区校级期中）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 　6　 cm． 【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC＝BCAB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长． 【解答】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BCAB＝8cm， 在Rt△OAC中，OC6（cm）． 故答案为6． 3．（2024秋•越秀区校级期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）由垂径定理得CF＝DF，根据等腰三角形的性质可得AF＝BF，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 二．垂径定理的应用（共3小题） 4．（2024秋•番禺区校级期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝7cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C． D． 【分析】由垂径定理得，再由勾股定理得AC，进而完成解答． 【解答】解：连接OA，如图， 由题意得：OC⊥AB， ∴， ∵CD＝7cm，OA＝OD＝5cm， ∴OC＝OD﹣CD＝2（cm）， ∴， ∴． ∴截面圆中弦AB的长为． 故选：C． 5．（2024秋•海珠区校级期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　 cm． 【分析】连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，利用勾股定理求出OC即可解答． 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 6．（2023秋•增城区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？ 【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10， ∴AE＝BE＝5， 设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x ∵CE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25， 即2x＝26， 解得：x＝13 所以CD＝26（寸）． 三．圆心角 弧 弦的关系（共3小题） 7．（2022•越秀区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断选项A和选项C，根据圆的性质即可判断选项D，根据垂径定理即可判断选项B． 【解答】解：A． 如图1，圆心角∠AOB＝圆心角∠COD，但是，弦AB≠弦CD，故本选项不符合题意； B． 如图2，直径AB和弦CD，AB平分CD，但是AB和CD不垂直，故本选项不符合题意； C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等，故本选项符合题意； D．圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线（对称轴是直线，不是线段），故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（2023秋•越秀区校级月考）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 9．（2024秋•番禺区期中）如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE． 【解答】证明：连接OC． 在⊙O中，∵ ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD＝OE， ∵OC＝OC（公共边）， ∴△COD≌△COE（SAS）， ∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 四．圆周角定理基础（共3小题） 10．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBA＝90°， 又∵∠A＝∠CDB＝51°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°． 故选：D． 11．（2024秋•越秀区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BD平分∠CBA，连接CD，AC，若∠CDB＝32°，则∠ACD的度数为 　29　 °． 【分析】根据圆周角定理，∠CAB＝∠CDB＝32°，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，可得∠ABC＝90°﹣∠CAB＝58°，又BD平分∠CBA，可得，由此求得∠ACD． 【解答】解：∵， ∴∠CAB＝∠CDB＝32°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°， ∵BD平分∠CBA， ∴， ∵， ∴∠ACD＝∠ABD＝29°． 故答案为：29． 12．（2024秋•广州期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，． （1）求证：OD∥BC； （2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长． 【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论； （2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴OD⊥AC， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴：OD∥BC． （2）∵AD＝CD， ∴OD⊥AC于点E且AE＝CE， 又∵AC＝10， ∴， ∵DE＝4， 设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4， 在Rt△AOE中， OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52， ∴， 又∵O，E为AB，AC的中点， ∴OE，OE∥BC， ∴BC＝2OE． 五．圆周角定理提高（共3小题） 13．（2024秋•广州期中）如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（　　） A． B． C． D．m＝50 【分析】延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E，先求出∠APF＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AF＝AP，∠FAP＝60°，推得AC＝BC，根据圆内接四边形的性质可得∠ACB＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AB＝AC，∠BAC＝60°，根据全等三角形的判定的和性质可得BF＝PC，推得PC＝AP+BP；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出AB2＝AP2+BP2+BP•AP，结合题意可得m＝AB2；将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，根据全等三角形的判定和性质可得DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°，根据勾股定理的逆定理可得∠ADD′＝90°，求得∠GDC＝30°，根据直角三角形的性质可得CG＝2，根据勾股定理求得，，即可求解． 【解答】解：如图：延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E， ∵∠BPC＝∠APC＝60°， ∴∠APB＝∠BPC+∠APC＝120°， 则∠APF＝180°﹣∠APB＝60°， ∵∠APF＝60°，PF＝AP， ∴△APF是等边三角形， ∴AF＝AP，∠FAP＝60°， ∵∠BPC＝∠APC＝60°， ∴AC＝BC， ∵A、B、C、P四点共圆，∠APB＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠APB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠FAP＝∠BAC＝60°， ∴∠FAP+∠PAB＝∠BAC+∠PAB， 即∠FAB＝∠PAC， ∴△FAB≌△PAC（SAS）， ∴BF＝PC， 即PC＝PF+BP＝AP+BP， ∵AE⊥BE， ∴∠PAE＝90°﹣∠APE＝30°， 故， 则， 在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，BE＝BP+PE， 即， 整理得：AB2＝AP2+BP2+BP•AP， ∵2m＝PA2+PB2+PC2＝PA2+PB2+（PB+PA）2＝2（PB2+PA2+PB•PA）， ∴2m＝PA2+PB2+PC2＝2AB2， ∴m＝AB2， 将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，如图： 则CD＝CD′，BD＝AD′＝5，∠DCD′＝60°， ∵CD＝CD′，∠DCD′＝60°， ∴△DCD′是等边三角形， ∴DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°， ∵AD2+D′D2＝32+42＝25，D′A2＝52＝25， ∴AD2+D′D2＝D′A2， 即△ADD′是直角三角形， ∴∠ADD′＝90°， ∴∠ADC＝∠ADD′+∠D′DC＝90°+60°＝150°， ∴∠GDC＝180°﹣∠ADC＝30°， ∴，， ∴， 则， ∵AC＝AB， ∴． 故选：B． 14．（2024•越秀区校级开学）如图，P为⊙O直径AB上一点，∠BAD+∠ABC＝90°，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AD于N，若BC＝8，AD＝6，则最小值为 　　 ． 【分析】连接BD，PD，过点P作PT⊥BD于点T，连接NT．证明四边形PNDT是矩形，推出NT＝DP，根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：连接BD，PD，过点P作PT⊥BD于点T，连接NT． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， ∵∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC， ∵PM⊥BCPT⊥BD， ∴PM＝PT， ∵∠PND＝∠NDT＝∠DTP＝90°， ∴四边形PNDT是矩形， ∴PD＝NT，∠NPT＝90°， ∵NT＝PD， ∴当PD⊥AB时，PD的值最小，此时的值最小， 连接AC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， ∴BC＝BD＝8， ∴AB10， 当DP⊥AB时，AB•DPAD•DB， ∴DP， ∴的最小值为． 15．（2024•增城区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OFBC＝3，然后计算OD﹣OF即可； （3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值． 【解答】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝90°， ∴OF⊥AC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， 而OA＝OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OFBC＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2； （3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°， 则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OHOD， ∴DHOH， ∴DC′＝2DH＝5， ∴PC+PD的最小值为5． 六．圆内接四边形（共3小题） 16．（2024秋•南沙区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C＝180°﹣∠A＝65°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝130°， 故选：B． 17．（2023秋•黄埔区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝50°，则∠C＝　130　 °． 【分析】由圆内接四边形的对角互补，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180° ∵∠A＝50°， ∴∠C＝130°． 故答案为：130． 18．（2024秋•荔湾区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 【分析】（1）利用等角对等边证明即可． （2）利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°， ∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP． （2）解：如图，连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDP＝90°， ∵AB＝AP＝10，DP＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∴BD6， ∴PB2， ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴BC＝PCPB， ∴PC． 七．点与圆的位置关系（共3小题） 19．（2024秋•海珠区校级期中）已知⊙O的半径是4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得OP的范围即可解答． 【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内， ∴0≤OP＜4， 选项中只有3符合题意． 故选：A． 20．（2024•海珠区校级开学）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为　10　 ． 【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2＝2PN2+2FN2即可求出结论． 【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值． ∵DE＝4，四边形DEFG为矩形， ∴GF＝DE，MN＝EF， ∴MP＝FNDE＝2， ∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1， ∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10． 故答案为：10． 21．（2024秋•增城区校级月考）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图． （2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm， 则根据勾股定理列方程： x2＝122+（x﹣8）2， 解得：x＝13． 答：圆的半径为13cm． 八．直线与圆的位置关系（共2小题） 22．（2024秋•越秀区校级月考）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论． 【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5， ∴直线l与⊙O相离． 故选：C． 23．（2024秋•天河区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【分析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．求出CH的值即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H． ∵S平行四边形ABCD＝BC•CH， ∴CH2， ∵25， ∴直线AD与⊙C相交， 故选：A． 九．切线的性质（共3小题） 24．（2024•天河区开学）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（　　） A．25° B．20° C．30° D．35° 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°， ∵∠ADC＝30°， ∴∠AOB＝2∠ADC＝60°， ∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°． 故选：C． 25．（2024秋•海珠区校级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，则∠P的大小是 　40　 度． 【分析】连接BC，OB，根据PA、PB是⊙O的切线可知∠OAP＝∠OBP＝90°；再根据直径所对的圆周角是90度可知∠ABC＝90°，求得∠C＝70°，最后由圆周角定理知∠AOB＝2∠C＝140°，利用四边形内角和可求得∠P＝40°． 【解答】解：连接BC，OB； ∵PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点 ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°； ∵∠BAC＝20°， ∴∠C＝70°， ∴∠AOB＝2∠C＝140°， ∴∠P＝180°﹣∠AOB＝40°． 故答案为：40． 26．（2024秋•越秀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　28°　 ． 【分析】连接OC，根据切线的性质得∠OCD＝90°，求出∠DOC的度数，再根据圆周角定理计算∠A的度数． 【解答】解：如图，连接OC， ∵DC切⊙O于点C， ∴OC⊥DC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝34°， ∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°， ∴， 故答案为：28°． 十．切线的判定（共3小题） 27．（2024春•天河区校级月考）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【分析】连接OD，证得OD∥AC，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线． 【解答】解：连接OD，如图所示， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠A， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 28．（2024秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 29．（2024秋•荔湾区校级期中）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD，求⊙O的直径． 【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论； （2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP＝2OA，可得出OP﹣PD＝OD，再由PD，可得出⊙O的直径． 【解答】解：（1）证明：连接OA， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线． （2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°， ∴PO＝2OA＝OD+PD， 又∵OA＝OD， ∴PD＝OA， ∵PD， ∴2OA＝2PD＝2． ∴⊙O的直径为2． 十一．切线长定理（共3小题） 30．（2024秋•海珠区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm 【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解． 【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB； 所以△PFG的周长＝PF+FG+PG， ＝PF+FE+EG+PG， ＝PF+FA+GB+PG， ＝PA+PB ＝16cm， 故选：C． 31．（2024秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（6，0）、B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∴AB＝6 ∴OPAB＝3， ∵OQ＝2， ∴PQ， 故选：D． 32．（2024秋•越秀区期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　20　 cm． 【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解 【解答】解：∵PA，PB是圆的切线． ∴PA＝PB 同理，AE＝EC，FC＝FB． 三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm． 故答案是20． 十二．三角形内切圆（共2小题） 33．（2024秋•番禺区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【分析】根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，则BM+CQ＝6，所以△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+AE+DM+EQ，代入求出即可． 【解答】解：∵△ABC的周长为21，BC＝6， ∴AC+AB＝21﹣6＝15， 设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P， ∵DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP， ∴BM+CQ＝BN+CN＝BC＝6， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+AE+DP+PE ＝AD+DM+AE+EQ ＝AB﹣BM+AC﹣CQ ＝AC+AB﹣（BM+CQ） ＝15﹣6＝9， 故选：B． 34．（2024•越秀区校级开学）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于 　104°　 ． 【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案． 【解答】解：∵⊙I是△ABC的内切圆， ∴，，﹣﹣ ∵∠A＝28°， ∴， ∴∠BIC＝180°﹣76°＝104°； 十三．正多边形和圆（共2小题） 35．（2024秋•越秀区校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的面积等于9π，则正六边形的边长为（　　） A． B．3 C．6 D．9 【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3． 【解答】解：连接OB、OC，如图： ∵⊙O的面积等于9π， ∴⊙O的半径OB＝OC3， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝3， 即正六边形的边长为3， 故选：B． 36．（2024秋•天河区校级期中）一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　16　 ． 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为45°就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【解答】解：∵多边形的边数为：360÷45＝8， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长＝2×8＝16， 故答案为：16． 十四．弧长与扇形面积（共3小题） 37．（2023秋•白云区期末）如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长即可求出答案． 【解答】解：扇形的弧长4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． 故选：B． 38．（2024秋•越秀区校级月考）圆心角为120°，半径为2的扇形，则这个扇形的面积为　　 ． 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵n＝120°，R＝2， ∴S． 故答案为：． 39．（2023秋•番禺区期末）如图，在▱ABCD中，AB1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　　 ．（结果保留根号） 【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可． 【解答】解：在▱ABCD中，AB1，BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB1，AB∥CD． ∵AH⊥CD，垂足为H，AH， ∴sinD， ∴∠D＝60°， ∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°， ∴DHAD＝1， ∴CH＝CD﹣DH1﹣1， ∴CH＝AH， ∵AH⊥CD， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴∠ACH＝∠CAH＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACH＝45°， ∴2πr1，解得r1， 2πr2，解得r2， ∴r1﹣r2． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版九年级数学单元强化练习-第二十三章 圆（广州专用） 一．垂径定理（共3小题） 1．（2024秋•天河区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．（2024秋•番禺区校级期中）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于 　 　 cm． 3．（2024秋•越秀区校级期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 二．垂径定理的应用（共3小题） 4．（2024秋•番禺区校级期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝7cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C． D． 5．（2024秋•海珠区校级期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　 　 cm． 6．（2023秋•增城区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？ 三．圆心角 弧 弦的关系（共3小题） 7．（2022•越秀区校级开学）下列说法正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径 8．（2023秋•越秀区校级月考）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 9．（2024秋•番禺区期中）如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 四．圆周角定理基础（共3小题） 10．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 11．（2024秋•越秀区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，且BD平分∠CBA，连接CD，AC，若∠CDB＝32°，则∠ACD的度数为 　 　 °． 12．（2024秋•广州期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，． （1）求证：OD∥BC； （2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长． 五．圆周角定理提高（共3小题） 13．（2024秋•广州期中）如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（　　） A． B． C． D．m＝50 14．（2024•越秀区校级开学）如图，P为⊙O直径AB上一点，∠BAD+∠ABC＝90°，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AD于N，若BC＝8，AD＝6，则最小值为 　 　 ． 15．（2024•增城区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 六．圆内接四边形（共3小题） 16．（2024秋•南沙区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 17．（2023秋•黄埔区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝50°，则∠C＝　 　 °． 18．（2024秋•荔湾区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 七．点与圆的位置关系（共3小题） 19．（2024秋•海珠区校级期中）已知⊙O的半径是4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 20．（2024•海珠区校级开学）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为　 　 ． 21．（2024秋•增城区校级月考）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 八．直线与圆的位置关系（共2小题） 22．（2024秋•越秀区校级月考）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 23．（2024秋•天河区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 九．切线的性质（共3小题） 24．（2024•天河区开学）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（　　） A．25° B．20° C．30° D．35° 25．（2024秋•海珠区校级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，则∠P的大小是 　 　 度． 26．（2024秋•越秀区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　 　 ． 十．切线的判定（共3小题） 27．（2024春•天河区校级月考）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 28．（2024秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 29．（2024秋•荔湾区校级期中）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD，求⊙O的直径． 十一．切线长定理（共3小题） 30．（2024秋•海珠区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm 31．（2024秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 32．（2024秋•越秀区期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　 cm． 十二．三角形内切圆（共2小题） 33．（2024秋•番禺区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 34．（2024•越秀区校级开学）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于 　 　 ． 十三．正多边形和圆（共2小题） 35．（2024秋•越秀区校级月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的面积等于9π，则正六边形的边长为（　　） A． B．3 C．6 D．9 36．（2024秋•天河区校级期中）一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　 　 ． 十四．弧长与扇形面积（共3小题） 37．（2023秋•白云区期末）如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 38．（2024秋•越秀区校级月考）圆心角为120°，半径为2的扇形，则这个扇形的面积为　 　 ． 39．（2023秋•番禺区期末）如图，在▱ABCD中，AB1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　 　 ．（结果保留根号） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$