精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2024--2025学年第二学期期末质量检测试卷 高一数学 命题人： 总分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若且，则 6. 将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一个正四棱台形油槽可以装煤油，其上、下底面边长分别为和，则该油槽的深度为（　　） A. B. C. D. 8. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与对立 D. 与对立 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. （多选）下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等的向量是相等向量 C. 零向量的方向是任意的 D. 方向相反的向量是相反向量 10. 下列结论正确的是（　　） A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 11. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为 B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为 C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为 D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，，则________． 13. 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 14. 市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，订阅的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种报纸都订阅的有150户．则两种报纸都不订阅的概率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且是第三象限角，求值. 16. 如图，三棱锥中，底面，，，为的中点． （1）指出图中有哪几个平面； （2）指出图中有哪四对互相垂直的平面． 17. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是和，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 （1）甲和乙同时命中的概率； （2）甲和乙至少一人命中概率． 18. 如图，在正方体中，，求： （1）异面直线与所成角的大小的正切值； （2）求点到平面距离． 19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：  （1）本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数？ （2）请你将条形统计图补全； （3）本次调查中抽中了高二（1）班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年第二学期期末质量检测试卷 高一数学 命题人： 总分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模的计算和乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意知，， 则， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 2. 向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用坐标计算向量的模. 【详解】由图形可知： ； 故选：B. 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 详解】由正弦定理得，所以. 故选：B. 4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义求解. 【详解】 如图，过点作于点， 因为,所以， 原平面图形中,作原平面图形如下， 则原平面图形的面积为, 故选:C. 5. 空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可. 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 6. 将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定出现一次6点向上的概率，可得没有一次6点向上的概率，利用对立事件的概率关系求解即可. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为， 所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为， 所以至少出现一次6点向上的概率为. 故选：B. 7. 一个正四棱台形油槽可以装煤油，其上、下底面边长分别为和，则该油槽的深度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，可得答案. 【详解】设正四棱台的高，即深度为，依题意，得，解得. 故选：D． 8. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与对立 D. 与对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解. 【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确. 事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确. 事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误. 事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确. 故选：ABD. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. （多选）下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等向量是相等向量 C. 零向量的方向是任意的 D. 方向相反的向量是相反向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，若，则不一定有， 比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上， 所以这两个向量不一定共线，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（　　） A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆柱、长方体、直四棱柱、圆锥、圆台、六面体等知识对选项进行分析，由此确定正确答案 【详解】由题意， 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱， 可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 故D错误； 故选：ABC. 11. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为 B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为 C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为 D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用古典概率模型求解. 【详解】由题，样本空间为，共9个样本点， 对A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为，A错误； 对B，取出的两个球上标号之积能被3整除的样本点有共5个，所以概率为，B正确； 对C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为，C正确； 对D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有共3个， 所以甲盒中取出球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率，D正确； 故选:BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求得，结合两角和的正切公式代入求解即可. 【详解】因为，，所以 ，所以， 所以. 故答案为： 13. 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 14. 市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，订阅的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种报纸都订阅的有150户．则两种报纸都不订阅的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件绘制venn图，由图可知至少订阅一种报纸的有（户），即可求得两种报纸都不订阅的有（户），计算即可得出结果． 【详解】记500户居民组成的集合为，订阅晨报的居民全体为集合， 订阅晚报的居民全体为集合．订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户， 两种都订阅的有150户，如图所示． 由图可知至少订阅一种报纸的有（户），所以两种报纸都不订阅的有（户）． 故两种报纸都不订阅的概率为． 故答案为：0.038 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且是第三象限角，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】根据同三角函数的关系，可求出，再用齐次式求出问题即可. 【详解】，且是第三象限角. ，. . 将代入解得：. 16. 如图，三棱锥中，底面，，，为的中点． （1）指出图中有哪几个平面； （2）指出图中有哪四对互相垂直的平面． 【答案】（1）平面，平面，平面，平面，平面；（2）平面平面；平面平面；平面平面；平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据平面的定义结合图像即可得出答案； （2）根据面面垂直的判定定理结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）图中有平面，平面，平面，平面，平面； （2）因为底面，面，所以， 又因，，所以平面， 又平面，所以平面平面， 同理， 平面平面，平面平面，平面平面. 17. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是和，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 （1）甲和乙同时命中的概率； （2）甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率，即可求出甲和乙同时命中的概率； （2）求出甲和乙都不命中的概率，即可求出甲和乙至少一人命中的概率. 【小问1详解】 由题意， 设甲命中为事件，概率为， 乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件， ∴甲和乙同时命中的概率为：. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 设甲和乙都不命中为事件，甲和乙至少一人命中为事件， 则， ∴甲和乙至少一人命中的概率为：. 18. 如图，在正方体中，，求： （1）异面直线与所成角的大小的正切值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由∥易知即为异面直线与所成角，解△即可； (2)连接交于O，证明面即可知OC即为所求． 【小问1详解】 连接，易知BC⊥， ∵∥， ∴即为异面直线与所成角， ∵，则， 故． 【小问2详解】 连接交于O，则， ∵AB⊥平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴面， ∴线段OC为所求距离，∴点到平面的距离为． 19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：  （1）本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数？ （2）请你将条形统计图补全； （3）本次调查中抽中了高二（1）班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概率. 【答案】（1）50； （2）条形统计图见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）两个统计图数据分析得到本次被抽查的学生总数，进而得到“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数； （2）计算出B类人数，补全条形统计图； （3）利用表格列举出小王和小李两名学生的选择情况，从而求出他们选择同一个项目的概率. 【小问1详解】 由扇形统计图中可知：D体育类占比为，条形统计图中可知，D体育类有20人， 故本次被抽查的学生共有：名， 扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 B类人数是：名，补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 所有可能的情况如下表所示： 由表格可得：共有16种等可能的结果，其中小王和小李两名学生选择同一个项目的结果有4种， 所以小王和小李两名学生选择同一个项目的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$