2.2有理数的乘法（知识框架+知识梳理+ 同步练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册第二章 有理数的运算

2.2有理数的乘法 一、本节知识框架 二、本节知识梳理 1. 乘法运算法则： 有理数乘法运算法则：（1）两数相乘， ，并把绝对值相乘. （2）0与任何数相乘都得 . 法则的推广：（1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的 ，再确定积的绝对值. （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于 ．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3）几个不是0的数相乘，积的符号由 决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀： ） 注意：（1）任何数与1相乘都等于它 ，任何数与－1相乘都等于它的相反数. （2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 2．有理数乘法的运算定律： 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 三、本节知识精练 一、单选题 1．下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（　　） ①一个数同1相乘，仍得这个数； ②一个数同相乘，得这个数的相反数； ③一个数同0相乘，得0； ④互为相反数的两数的积是1； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 5．一种商品原价500元，先提价再降价，现在售价（　　）元． A．550 B．500 C．495 6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满八进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（      ） A．336 B．510 C．726 D．1326 7．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 8．计算，运用哪种运算律更简便（   ） A．加法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法交换律 D．加法结合律 二、填空题 9．计算： ． 10．已知，是有理数，有下列结论：；；；．其中正确的有 （填序号）． 11．如图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 12．小明与小刚规定了一种新运算△：．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 13．如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．用简便方法计算： (1)； (2)． 17．某茶农出售茶叶20袋，每袋质量如下（单位：g）： 199，201，197，203，200，195，197，199，202，196， 203，198，201，200，197，196，204，199，201，198， 用简便方法计算出售的茶叶总共多少克． 18．某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2.2有理数的乘法 1．D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键：根据有理数的乘法法则计算即可逐一判断； 【详解】解：由题意可得， ，选项A不符合题意， ，选项B不符合题意， ，选项C不符合题意， ，选项D符合题意， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了两个有理数的乘法运算，多个有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项符合题意； C. ，计算正确，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项不符合题意； 故选：． 3．C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则逐项判断即可． 【详解】解：①一个数同1相乘，仍得这个数，原说法正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，原说法正确； ③一个数同0相乘，得0，原说法正确； ④互为相反数的两数的积不是1，原说法错误； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0，原说法正确； ∴说法正确的有4个， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 结果为0，故该选项不正确，不符合题意； B． 结果是负数；故该选项不正确，不符合题意； C． 结果是正数，故该选项正确，符合题意；     D． 结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用．根据题目所给的调价方式进行计算即可． 【详解】解：（元）， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查有理数的加法和乘法的实际应用，从右往左，第一列每个绳结表示，第二列每个绳结表示，第三列每个绳结表示，第四列每个绳结表示． 【详解】从右往左，第一列每个绳结表示，第二列每个绳结表示，第三列每个绳结表示，第四列每个绳结表示，则孩子出生的天数为 (天) ． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据算式特点，利用乘法分配律可以进行简算，判断即可． 【详解】解：观察式子可知，可以利用乘法分配律进行简算， 故选B． 9． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为： 10． 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则逐项判断即可，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：，计算正确； ，计算正确； ，计算正确； ，计算正确； 则正确的有， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了有理数的乘法和减法运算，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则． 【详解】解：由题意可得， ， ， ∴最后输出的结果是， 故答案为：． 12．16 【分析】本题考查有理数的运算，根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 故答案为：16． 13． 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为： 14．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 15．(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．共 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，以为标准，分别记为，，，，0，，，，，，，，，0，，，，，，，再列出式子，根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：以为标准，分别记为，，，，0，，，，，，，，，0，，，，，，， 它们的总质量为：， 故出售的茶叶总共． 18．(1)应付车费元 (2)王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据小明家到外婆家，相距（不足1千米按1千米计算）千米，结合表格中的相关数据列式计算即可； （2）分两种情况：从学校到教育局，然后再从教育局到学校，按照单程计算出需要的花费；按照往返计算出需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：应付车费元； （2）解：按照单程： （元）， 按照往返： （元）， ， 答：王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$