1.1.1菱形的性质 课件-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 1.菱形的性质与判定 1.1 菱形的性质 1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.性质：①对边平行、对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD、AD∥BC、AB=CD、AD=BC ②对角相等 ∴∠BAD=∠BCD、∠ABC=∠ADC ③对角线互相平分 ∴OA=OC、OB=OD ④平行四边形是中心对称图形 情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 平行四边形 菱形 邻边相等 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。 注意：平行四边形不一定是菱形. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 例题 菱形的特殊性质： ①菱形的四条边相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC ②菱形的对角线互相垂直 ∴AC⊥BD （即∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°） ③菱形的每一条对角线平分一组对角 ∴∠BAC=∠DAC、∠BCA=∠DCA、 ∠ABD=∠CBD、∠ADB=∠CDB ④菱形是轴对称图形，有两条对称轴 A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC平分∠BAD 即∠BAC＝∠DAC ∵CE⊥AB，CF⊥AD ∴∠AEC＝∠AFC＝90° 又∵AC＝AC ∴△ACE≌△ACF（AAS） ∴AE＝AF. 例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE ∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，  ∵∠DAE＝2∠BAE ∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA （ASA） ∴AO＝BE . 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝ 5，则△ABD的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______. 6cm 练一练 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 课堂练习 18 2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （　　） A.18 B.16 C.15 D.14 课堂练习 B 19 3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______. （2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ _______. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为______. 44cm A B C O D 4.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． A D C B F E 4.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． A D C B F E 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． 又 CE=CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 周长=边长的四倍 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 $$