精品解析：广东省深圳市深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

深外高中园2024-2025学年第二学期高二期末考试 数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答再试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：B. 2. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 3. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 4. 千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件的概率关系求解. 【详解】由题，“至少有2人都选择贵州地区支教”的对立事件为只有1人选择贵州地区支教和没有人选择贵州地区支教， 只有1人选择贵州地区支教的情况有种，没有人选择贵州地区支教的情况有种， 所以至少有2人都选择贵州地区支教的概率. 故选：B. 5. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与是对立事件可列方程求出、，再根据离散型随机变量的均值公式求出，最后利用公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B 6. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据分别计算、比较大小即可求解. 【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ， 因为， 所以. 故选：C 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】B 【解析】 【分析】做出分段函数图形，将其中一段函数中心对称变换一下，观察与另一段函数图形的交点的个数. 【详解】 如图所示，当时，，其关于原点对称后的图像为， 易知与有两个交点，即上有两个点，中心对称后在上； 故选：B. 8. 若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解. 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与B互相独立，且，则 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式和条件概率公式，决定系数得概念，二项分布的均值以及均值的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】已知事件A与B互相独立，则，则，所以A正确； 决定系数越接近1拟合效果越好，则甲拟合效果更好，所以B错误； 根据二项分布均值公式可知，根据均值的性质可知，所以C正确； 根据规则，只有连续五次投不中，才游戏失败，所以成功的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 函数对于任意的，满足，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 是函数的一个周期 C. 点是图象的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【详解】由题知， 对于选项A：令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以函数为奇函数，故选项A不正确； 对于选项B：令，，即， ，所以周期为，故选项B正确； 对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确； 对于选项D：令，得，即， 令，得，所以， 所以， 故，故选项D正确. 故选：BCD.. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个变量x和y的统计数据如下表： x 13 16 17 18 y 15 16 19 22 根据上表可解得回归直线方程：，则实数a的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点的性质，求出两个变量的平均数，代入求出参数值. 【详解】由题意得，， 样本中心点为，代入得，解得. 故答案为：. 13. 某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________. 【答案】（中的任意一个数均可） 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可求解. 【详解】​​​​​​​因为，且, 则,且， 故若，则. 故答案为:（中的任意一个数均可）. 14. 已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数的取值范围为. 16. 在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____________，求： （1）求n和展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含的项的系数． 【答案】（1），和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质，判断的值和二项式系数最大的项，根据二项式展开式，求出该项即可. （2）根据二项式的展开式，求出指定项即可. 【小问1详解】 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意， 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得； 当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项， 根据二项式展开式可知，第项为， 当时，，当时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项. 【小问2详解】 已知，展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以含的项为，可得含的项的系数为. 17. 在函数性质学习过程中，我们可以总结出一些常见奇偶性函数模型，例如：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数______________________．偶函数：①函数．②函数．③函数型，等等．对于奇偶函数也有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶．请根据所学函数的有关知识，结合以上内容，完成下面问题： （1）类比奇函数①中的函数模型，在奇函数③中补充一个函数． （2）若为偶函数，求a的值． （3）已知函数，若，求m的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）类比推理得函数解析式，证明为奇函数即可； （2）根据偶函数性质，列出方程，求出参数值，验证其为偶函数即可； （3）根据函数解析式，证明其为奇函数和在定义域上的减函数，在根据函数单调性解不等式即可. 【小问1详解】 类比得：， 由，符合条件； 【小问2详解】 已知为偶函数，则有， 则， 化简得，解得， 当时，，定义域为，，符合偶函数，所以； 【小问3详解】 已知，定义域为，解得，即定义域为， 可知，，所以为奇函数， 设，则， 因为，所以， 且，，可得， 所以，得，即， 所以，在上单调递减， 由，，得，即 所以，解得， 所以m的取值范围为. 18. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中m的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ （3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 有 （3）X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望为 0.7 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值； （2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断； （3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人， 经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下， 可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联； 【小问3详解】 由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人， 不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件， 则， 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件， 则，，，， ，， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为． 19. 定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义可求得函数解析式. （2）讨论定义域和二次函数对称轴的关系，根据函数的最大值和最小值建立等量关系，计算的值. （3）分“”和“”两种情况分析，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 所以 所以的解析式为. 【小问2详解】 当时，，所以. ①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意. ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即，，即，符合题意； ③当时，在单调递减，则，解得，不合题意. 综上得，. 【小问3详解】 由得，，由得，得，故同号. ①当时，由于时，，故，则， 所以在区间上单调递减， 所以， 即为方程的根， 由得，即，从而解出. ②同理时，由于时，，故，则 故在区间上单调递减， 所以，解得. 综上可得，或. 【点睛】思路点睛：本题考查函数值域和单调性综合问题，具体思路如下： （1）设，求得的表达式，利用奇函数的定义可得出的表达式，综合可得出函数的解析式. （2）根据题目条件分、、三种情况讨论，结合函数单调性找到定义域和值域的对应关系，即可得到结果. （3）根据题目条件得到，分和两种情况讨论，确定函数在区间上的单调性，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深外高中园2024-2025学年第二学期高二期末考试 数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答再试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 3. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与B互相独立，且，则 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 11. 函数对于任意的，满足，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 是函数的一个周期 C. 点是图象的对称中心 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个变量x和y的统计数据如下表： x 13 16 17 18 y 15 16 19 22 根据上表可解得回归直线方程：，则实数a的值为_____________． 13. 某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________. 14. 已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50； 条件②：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____________，求： （1）求n和展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含的项的系数． 17. 在函数性质学习过程中，我们可以总结出一些常见奇偶性函数模型，例如：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数______________________．偶函数：①函数．②函数．③函数型，等等．对于奇偶函数也有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶．请根据所学函数的有关知识，结合以上内容，完成下面问题： （1）类比奇函数①中的函数模型，在奇函数③中补充一个函数． （2）若为偶函数，求a的值． （3）已知函数，若，求m的取值范围 18. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中m的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ （3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 定义在R上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值. （3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $