24.1.2 垂直于弦的直径课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 1 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单 的计算、证明和作图问题；（重点） 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 问题引入： 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？ 易 错 提 醒 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 合 作 探 究 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 合 作 探 究 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C,D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M， 连接OA，OA′. O A＇ D M A · C 合 作 探 究 垂径定理及逆定理 ●O A B C D E└ 条件 结论 命 题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. ① CD是直径, ③ AE=BE, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B O B A E D 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧. O 垂径定理的几个基本图形 解得：R≈27.9（m） B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ 实践应用 例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. ∵OE⊥AC，OD ⊥AB，AB ⊥AC 分析：先证明是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等。 判断下列说法的正误 ： ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ； 　②平分弦的直线必垂直弦； ③垂直于弦的直径平分这条弦； ④平分弦的直径垂直于这条弦； ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ； ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦； 辨别是非 1．下列说法中,不正确的是(　　) A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 我要闯关 基础过关 C 2．如图,☉O的半径OA=3,C为AB的中点,AB=4,则OC的长为  .  3．(数学文化)(2023·南宁西乡塘区月考)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”大意是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE为1寸,AB为10寸,则直径CD的长度是(　　) A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸 能力过关 D 1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段 归纳： 2、一个Rt△： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦 · O A B C 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理 16 练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ， 求圆O的半径。 　　 例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 17 反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据　　　　定理求出第三个量： C D B A O 18 1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 指弦中点到弦所对的弧中点的距离 练一练 2. 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗? 解：过 O 作 OD⊥AB 于 D 交圆上于点 E. 由题意，得 DE = 2 cm，AB = 8 cm. ∵ OD⊥AB，∴ AD = DB = 4 cm. 设圆形水管半径为 r cm. 在 Rt△ODA 中，42 + (r - 2)2 = r2，即 r = 5 cm. 故应该用半径为 5 cm 的圆柱形水管替换. 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 $$