精品解析：河南省濮阳市2024-2025学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

绝密★启用前 高一年级下学期期末学业质量监测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知,然后求交集即可. 【详解】由题可知， 所以. 故选：B. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，利用复数的乘法、除法运算可得，再算即可. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 2025年5月14日，长征二号丁运载火箭一次性将12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，105，则这组数据的中位数为（ ） A. 94 B. 93 C. 92 D. 91 【答案】A 【解析】 【分析】利用求解中位数知识即可求解. 【详解】由题意可得这12个数据的中位数为第6位和第7位数的平均数，故A正确； 故选：A. 4. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】初步可确定，，利用对数的运算性质可得，得到，即. 【详解】由单调递减，则， ， 又，则， 所以. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，再利用齐次式，代入即可求解. 【详解】， ，即， 又， 所以. 故选：C. 7. 已知某圆锥侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据底面积求出圆锥的底面半径，进而求出圆锥的母线长，利用圆锥表面积公式进行求解. 【详解】设圆锥底面半径为，则，解得， 设圆锥的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则，故， 所以此圆锥的表面积为. 故选：B 8. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为（ ） A. 90 B. 86 C. 78 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的计算公式和方差的性质，求出女生分数的方差. 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由方差得公式可知， 代入得，解得； 因为，所以， 化简得， 解得， 则女生方差为； 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为点 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用最小正周期公式直接求解；B选项，计算出，B错误；C选项，，在上单调递增，C正确；D选项，求出平移的解析式，判断出D错误. 【详解】A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，，故为的一条对称轴，B错误； C选项，时，， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，将图象向右平移个单位长度后得到， 显然为奇函数，D错误. 故选：AC 10. 如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合向量线性运算法则利用，，表示，判断A，结合数量积的运算律求，判断B，结合数量积的运算律和定义求，判断C，根据投影向量的定义求在上的投影向量，判断D， 【详解】对于A，由已知， 所以，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确； 故选：BCD. 11. 一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为 C. D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式可知可排除A；由代入计算可确定B；由可排除C；对于D，先计算摸一次摸到的球是黄色且不带标记的概率，然后可求两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率. 【详解】根据题意事件A与事件B独立，， 事件A与事件B不互斥，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 摸一次摸到的球是黄色且不带标记事件为，， 所以两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算和指数运算法则计算即可 【详解】 . 故答案为： 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、9，若一个球与该正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，则该球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过正四棱台的上、下底面边长求出其侧面梯形的高，由于球与正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，所以球的直径等于正四棱台的高，进而求出球的半径，最后根据球的体积公式计算体积. 【详解】设正四棱台的高为，侧面等腰梯形的斜高为，球的半径为， 其轴截面是一个梯形，又球与正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，轴截面需要与球的大圆相切，即轴截面为圆外接梯形， 又正四棱台的上、下底面边长分别为，利用圆外接梯形性质可知，即， 又四棱台的高、斜高、上下边长差构成直角三角形，由勾股定理得， 即，球的体积为, 故答案为：. 14. 在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式，可得，又在以为圆心，2为半径的圆上，进而求得的最大值，可得结论. 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求的坐标以及与的夹角． 【答案】（1）或 （2）或，夹角为 【解析】 【分析】（1）先由共线定理得到，再由模长公式求出参数即可求解； （2）设，由模长公式和向量垂直的坐标表示列出关于变量的方程即可求解，再由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ，设， 又，· 故的坐标为或． 【小问2详解】 设，则，① 故， 由，得，即， 化简得， 将①式代入，得，解得． 将代入①式，得， 即或， 设与的夹角为，则， 所以，即与的夹角为．· 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求解析式； （2）求单调递减区间； （3）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象分别可求，根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式， （2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解； （3）当时，，即利用整体代换法即可求解值域. 【小问1详解】 由图知， 设的最小正周期为，则， ，解得． ． 又， 即，又， ． 【小问2详解】 令，· 得， 的单调递减区间为． 【小问3详解】 当时，， 即当时，取到最小值， 当时，取到最大值， ， · ， 即在区间上的值域为. 17. 为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； （3）若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 【答案】（1） （2）能被检测到 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）根据百分位数的定义求解即可； （3）先根据分层抽样确定抽取6架时内的应分别抽取4架、2架，列举出所有的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，解得． 【小问2详解】 按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机，即求分位数． 在频率分布直方图中，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以分位数位于内．· 设分位数为x， 则，解得．· 因为，属于前，故能被检测到. 【小问3详解】 正常飞行时长在内的频率分别为， 则抽取6架时内的应分别抽取4架、2架． 设在内的4架分别为，在内的2架分别为， 在和内各抽取一架为事件A， 则该试验的样本空间为 ， ，，· 所以· 18. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，求的面积S的取值范围； （3）若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得进而可求； （2）由三角形的面积，利用正弦䆙理求得，可求的面积S的取值范围； （3）利用正余弦定理求得，利用基本不等式可求得，利用三角形面积可求得，再结合的关系可求得的最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， ， ， ， 又， ．· 【小问2详解】 由，得． 由正弦定理得， 则． 又为锐角三角形， 得， 则，即， ，于是， 即的面积S的取值范围为．· 【小问3详解】 设的外接圆半径为R，内切圆半径为r． 由（1）如，． 由余弦定理得，即， ， ．· ， （当且仅当时，等号成立）．· ， · （当且仅当时，等号成立）． 显然此时为等边三角形，满足题意， 故内切圆半径的最大值为．· 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，与交于点O． （1）证明：平面平面； （2）若M是棱的中点，求二面角的正切值； （3）若P，Q分别是线段上的点，且，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由底面是正方形，得到，结合平面，所以，再利用面面垂直的判定即可证明； （2）分别取的中点E，的中点F，可证平面，得到是二面角的平面角，设，求出边长即可求，从而得解； （3）作，由可得，根据角的关系可得，然后即可求解. 【小问1详解】 因为平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 分别取的中点E，的中点F，连接，如图． 易得，又平面，所以平面，所以． 因为，所以，又，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角． 设，则， 所以，即二面角的正切值为2． 【小问3详解】 作，与交于点R，连接，如图． 因为，所以． 又，所以，所以． 由（1）可得，所以，则，且， 所以， 当时，取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 高一年级下学期期末学业质量监测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 2025年5月14日，长征二号丁运载火箭一次性将12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，105，则这组数据的中位数为（ ） A. 94 B. 93 C. 92 D. 91 4. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为（ ） A. 90 B. 86 C. 78 D. 72 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为点 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 10. 如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 11. 一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为 C D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 求值：______． 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、9，若一个球与该正四棱台的上、下底面及四个侧面都相切，则该球的体积为______． 14. 在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求的坐标以及与的夹角． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上值域． 17. 为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； （3）若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 18. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，求的面积S的取值范围； （3）若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面正方形，平面，，与交于点O． （1）证明：平面平面； （2）若M是棱的中点，求二面角的正切值； （3）若P，Q分别是线段上的点，且，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$