第十一章不等式与不等式组（单元测试）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组（单元测试） 2024-2025学年七年级下册数学人教版 一、单选题 1．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 2．小敏妈妈为小敏爸爸购买了一双运动鞋．小敏、哥哥和爸爸都想知道这双鞋的价格，妈妈让他们猜．爸爸说“至少300元．”哥哥说：“至多260元．”小敏说：“至多200元．”妈妈说：“你们三个人都说错了．”则这双鞋的价格x（元）所在的范围是（　　） A．200＜x＜260 B．260＜x＜300 C．200≤x≤260 D．260≤x≤300 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式（   ） A．2 B． C． D． 5．阅读理解：我们把作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如．若，则（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人从A地出发,沿同一方向练习跑步,如果甲让乙先跑10米,则甲跑5秒就可追上乙，如果甲让乙先跑2秒,那么甲跑4秒就能追上乙,设甲、乙每秒钟分别跑米和y米,则可列方程组为 A． B． C． D． 7．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A． B． C． D． 8．若不等式组无解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．下列式子中，不等式的个数为（    ）     ①﹣2<0；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．若，且，则（    ）. A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 11．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有多少人进公园，买40张门票反而合算（   ） A．32 B．33 C．35 D．36 12．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知关于x的不等式x≥a-1的解集如图所示,则a的值为 . 14．不等式组的解集是 ． 15．快递运费通常按邮件重量计算，某快递公司规定：省内邮件重量不超过1千克时收费10元；邮件重量超过1千克时，超过的部分按每千克3元收费．若省内寄快递的费用不超过28元，则邮件的重量最多为 千克． 16．一元一次不等式的最大整数解为 ； 17．如图，小雨把不等式的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 ． 18．某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 19．某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格(万元/台) 12 10 月污水处理能力(吨/月) 200 160 设购买A种型号的污水处理设备x台． (1)若企业最多支出89万元购买设备，请写出x应满足的不等式是 ； (2)若企业还要求月处理污水能力不低于1 380吨，请写出x应满足的另一个不等式是 . 20．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值为 ． 21．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是 分. 三、解答题 22．用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 23．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由； （2）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，求a的取值范围． 24．（1）已知，利用不等式的性质比较与的大小，并说明理由； （2）若，且，求a的取值范围． 25．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2） 26．某商店对某型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．方案一：每台按售价的九折销售．方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．已知该型号笔记本电脑的原售价是6000元/台，某公司一次性从该商店购买该型号笔记本电脑x台． (1)若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式． (2)若公司购买11台该型号笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由． 27．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7． （1）请写出其中一个三角形的第三边的长； （2）设组中最多有n个三角形，求n的值； 28．阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为x＞3，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 【详解】解： 由①得，x＞3， 由②得，x＞m， 根据已知条件，不等式组解集是x＞3， 根据“同大取大”原则m≤3． 故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围． 2．B 【分析】三种情况都不符合题意，那么正确的范围一定在三种情况之外的范围，以此建立不等式，再求解． 【详解】爸爸： 哥哥： 小敏： 三种都不对，则只能是 故选B 【点睛】本题考查不等式的建立和求解，理解不等式的含义是解题关键． 3．D 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键．先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， ∴， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选D． 4．C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质即可求解． 【详解】解：依题意，得，即． 故选：C． 5．A 【分析】根据新定义运算可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 解得：， 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，一元一次不等式的解法，理解题意，建立不等式是解本题的关键． 6．D 【分析】题中等量关系有：（1）乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；（2）如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，可以列出方程组． 【详解】设甲、乙每秒分别跑x米，y米，根据（1）乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；（2）如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，列出方程组得： ， 故选D. 【点睛】考查了二元一次方程组的实际应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 7．B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，再根据题意可得，从而求出，然后解方程可得，再根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴， ∴， 由方程得， ， 解得：， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 综上所述，， ∴符合条件的所有整数m的值为：， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解，可得关于的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 故选：D． 9．B 【详解】根据不等式的定义——表示不等关系的式子.  ①﹣2<0；②；⑤符合条件. 故选B. 10．C 【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当≤a＜0时，≥； 所以A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误； B、当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误； C、有最大值2；故本选项正确； D、无最小值；故本选项错误． 故选C． 考点：不等式的性质． 11．B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设x人进公园，根据题意，列出不等式，求出最小整数解，即为所求． 【详解】解：设x人进公园．若购满40张票，则需要 (元)， 故时，解得， 由题意可知，． 因为x为正整数， 所以x的值最小为33， 则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算． 故选 B． 12．A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 13．0 【详解】由图可得， ，即， 故答案是：0． 14．/ 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 15．7 【分析】设邮件的重量为千克，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设邮件的重量为千克，由题意，得：， 解得：， ∴邮件的重量最多为7千克； 故答案为：7． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找准数量关系，正确的列出不等式． 16．-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解． 17． 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．求出该不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可确定阴影部分盖住的数字． 【详解】解：， ， 解得：． 所以阴影部分盖住的数字是． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答． 由“”根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值． 【详解】解：设橙子每千克的售价至少为元， 依题意得： 解得： 即橙子每千克的售价至少为元． 故答案为：． 19． 12x＋10(8－x)≤89 200x＋160(8－x)≥1 380 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式即可． 【详解】（1）购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据题意，得： 12x＋10(8－x)≤89 （2）根据题意，得： 200x＋160(8－x)≥1380 故答案为（1）12x＋10(8－x)≤89；（2）200x＋160(8－x)≥1380． 【点睛】本题考查了由实际问题中抽象出不等式，关键是正确理解题意，抓住题目中含不等关系的句子，列出不等式． 20．-3和-2 【分析】根据题意，先求出方程组的解，然后解代入不等式组，即可求出m的取值范围，然后得到m的整数解即可． 【详解】解：由题意得： 由②①，解得：， 把代入①，得：， 把，代入不等式组，得： ， 解不等式③，得：， 解不等式④，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴满足条件的m的整数解有：-3和-2， 故答案为：-3和-2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解不等式组的方法和步骤． 21．9.36 【分析】设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分． 【详解】设裁判员有x名，那么总分为9.84x； 去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82； 去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x． 因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9． 当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36． 故答案是：9.36. 【点睛】考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数． 22．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 23．（1）-3x+5＜-3y+5；理由见解析；（2）a＜3 【分析】（1）先在x＞y的两边同乘以-3，变号，再在此基础上同加上5，不变号，即可得出结果； （2）根据题意，在不等式x＜y的两边同时乘以（a-3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a-3＜0，解此不等式即可求解． 【详解】（1）-3x+5＜-3y+5；理由是： ∵x＞y， ∴不等式两边同时乘以-3得： -3x＜-3y， ∴不等式两边同时加上5得： -3x+5＜-3y+5； （2）∵x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y， ∴a-3＜0， 解得a＜3． 即a的取值范围是a＜3． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 24．（1）．理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）结合不等式的性质进行作答即可． （2）结合，且，即不等式的两边同时乘时，不等号的方向改变，则，进行作答即可． 【详解】解：（1）．理由如下： ， ∴不等式的两边都乘，得， ∴不等式的两边都加5，得． （2）由题意知，在不等式的两边同时乘时，不等号的方向改变， ． 在不等式的两边同时加a，得， 即． 25．(1) x<3；(2) 【试题分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. （2）先化成一般式，再进行求解. 【试题解析】（1） 去分母得：6x-3x+2x+2<6+x+8 移项得：6x-3x+2x-x<6+8-2 合并同类项得：4x<12 系数化为1得：x<3 将解集在数轴上表示如图： （2）原方程组可化为： ，相加x-y=0,解得：. 26．(1) (2)选择方案二，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． （1）分别用含x的代数式表示出方案一和方案二的费用，再根据方案二比方案一更便宜即可列出关于x的不等式； （2）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买11台所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， ∵方案二比方案一更便宜， ∴列出关于x的不等式为：； （2）解：选择方案二，理由如下： 当时， 方案一的费用为：（元）， 方案二的费用为：（元）， ∵， ∴若公司购买11台该型号笔记本，我会选择方案二． 27．（1）10； （2）n=9. 【详解】分析：（1）设三角形的第三边为x，根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可；（2）求出x的所有整数值，即可求出n的值. 本题解析： (1)设三角形的第三边为x， ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7−5<x<5+7， ∴2<x<12， ∴其中一个三角形的第三边的长可以为10. (2)∵2<x<12，它们的边长均为整数， ∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴组中最多有9个三角形， ∴n=9； 28．(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）求出方程的解，代入到不等式（组）中，看不等式（组）是否成立，即可得解； （2）用表示出，代入到，求解即可； （3）用表示出，根据，均为正数，以及，列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：， ∴，解得：； 当时： ①，故不是方程与不等式的理想解； ②，故是方程与不等式的理想解； ③，故是方程与不等式组的理想解； 故答案为：②③； （2）解：∵ 是方程组与不等式的“理想解”， ∴，解得：， ， ∴， 解得：； （3）解：， 解得：， ∴， 由题意得：，解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组．熟练掌握“理想解”的定义，正确的解出方程（组）的解，不等式（组）的解集，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$