第02讲：空间向量的数量积运算【四大题型】-2025-2026学年新高二数学同步精讲精练系列（人教A版2019）

第02讲：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（24-25高二上·全国）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 3．（24-25高二上·广东珠海）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 5．（22-23高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥如图所示， 底面是矩形，∴， 底面，底面，∴， 过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,， 故选：B 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 题型三、利用数量积证明垂直问题 7．（24-25高二上·全国）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【详解】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 8．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 9．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 题型四、用数量积求解夹角和模 10．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 12．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【详解】（1）如图，连接，    因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i）； （ii）因为， 所以. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 3．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式:向量在向量上的投影向量为,计算求解； 【详解】向量在向量上的投影向量为．故选：C． 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 6．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 所以，向量两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】依题意要证，即证，结合数量积的运算律判断A、C、D，将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】对于A，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， 所以，故A正确； 对于B，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， ，故B错误； 对于C，由题意可得与的夹角为，且， 则 ，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 12．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 三、填空题 13．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 【答案】/ 【分析】以为基底，利用空间向量数量积的运算律计算可求得线段的长. 【详解】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【详解】 . 故答案为：. 15．（24-25高二上·湖北·期末）如图，两条异面直线m，n所成的角为，在直线m，n上分别取点A，M和B，N，使且.已知，，，则线段的长为 . 【答案】 【分析】根据向量运算来求得正确答案. 【详解】设，， 由于两条异面直线所成角为， 且且，则与的夹角为或， 因为， 即， 化简得，，则，所以， 所以（负根舍去）. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得，，利用计算即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18．（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 19．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解； （2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可. 【详解】（1） （2）， ， . 20．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 21．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】运用空间向量的线性运算规则，结合图形性质和数量积运算即可. 【详解】（1）. （2）. （3），，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（24-25高二上·全国）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 2．（24-25高二上·全国）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 3．（24-25高二上·广东珠海）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 题型三、利用数量积证明垂直问题 7．（24-25高二上·全国）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 8．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 9．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 题型四、用数量积求解夹角和模 10．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 12．（24-25高二上·安徽阜阳）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 6．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 10．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 三、填空题 13．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 14．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 15．（24-25高二上·湖北·期末）如图，两条异面直线m，n所成的角为，在直线m，n上分别取点A，M和B，N，使且.已知，，，则线段的长为 . 16．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 四、解答题 17．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 19．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 20．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 21．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$