第01讲　空间向量及其线性运算【五大题型】-2025-2026学年新高二数学同步精讲精练系列（人教A版2019）

第01讲　空间向量及其线性运算 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、向量概念的应用 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 3．（21-22高二上·全国）给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二、空间向量的加减运算 4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，点E，F分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：空间共线向量定理 7．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 8．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 题型四、空间共面的向量定理 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量的数乘运算 13．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江西·阶段练习）在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 17．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高二上·全国）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·期末）已知正方体的棱长为2，，，分别为向量，，的单位向量.下列用，，表示的向量中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25高二下·全国）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 12．（24-25高二上·全国·课后作业）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．任意空间向量满足 三、填空题 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 . 15．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 16．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 17．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 四、解答题 18．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 19．（2022高二上·全国·专题练习）已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)； (2)； (3) 20．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 21．（23-24高三上·四川成都）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲　空间向量及其线性运算 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、向量概念的应用 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 3．（21-22高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 ②可举出反例，①③④⑤可用向量的概念进行判断 【详解】 对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题． 故假命题的个数为4. 故选：C 题型二、空间向量的加减运算 4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 6．（24-25高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，点E，F分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：A. 题型三：空间共线向量定理 7．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 8．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    9．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 题型四、空间共面的向量定理 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 11．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 题型五：空间向量的数乘运算 13．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 14．（24-25高二上·江西·阶段练习）在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算计算可得结果. 【详解】    因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 15．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 17．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 18．（24-25高二上·全国）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南·期末）已知正方体的棱长为2，，，分别为向量，，的单位向量.下列用，，表示的向量中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法法则与减法法则逐一验证即可. 【详解】对于选项A：因为，，，，A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 7．（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【详解】设, 则 故, 故选：B 8．（24-25高二下·全国）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断. 【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．任意空间向量满足 【答案】ABC 【分析】对于A，结合向量的线性运算，即可求解；对于B，结合空间点对称的性质，即可求解；对于C，结合空间向量的基本定理，即可求解；对于D，结合空间向量的数量积运算法则，即可求解． 【详解】，，，是空间任意四点， 则，故A正确； 点,2,，点关于坐标原点对称点的坐标为,,，故B正确； ，满足， 故,,,四点共面，故C正确； 表示与共线的向量，表示与共线的向量，二者不一定相等，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 . 【答案】26 【分析】利用向量的共线的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 15．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 16．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 17．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 19．（2022高二上·全国·专题练习）已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得 . （2）解：根据空间向量的运算法则，可得. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得， 在中，，则， 即，所以． 20．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由共面向量的基本定理，可得是共面向量 又因为有公共点，所以四点共面. （2）解：因为， 则 ， 所以. （3）解：由（1）及， 可得， 所以，即. 21．（23-24高三上·四川成都）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$