体积与体积法讲义-2026届高三数学一轮复习

体积与体积法 最近,浙江一位朋友发来一道妙题这道题居然指出欧几里得《几何原本》也有错.原题是(为便于读者阅读,著者对文字作了若干简化,特别对图形的直观性作了加工): 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中这样定义棱柱:“棱柱是一个立体图形,它是由一些平面构成的.其中有两个面是相对的,相等的,相似且平行的.其他各个面都是平行四边形”. 这个定义显然是有缺陷的.以下我们举出一个个反例:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,CD的中点,E1,F1分别为A1B1,C1D1的中点.AF,BD交于G,CE,BF交于H,…以下,在正方体表面的每两条直线都有一个交点.于是我们得到一个12面体:EGFH-PQGSMN-E1G1F1H1. 若正方体棱长为1,求这个12面体的体积. 显然,这个12面体符合欧几里得关于棱柱定义的一切条件:两底平行且相等,其他各面都是平行四边形,但它不是棱柱.① 求这个12面体的体积确实好难.解决此题和其他类似的题.必须具备与掌握如下的只是技能.即: 直角四面体-------开启求积(面积,体积)之门的钥匙. 如图:将一个长方体截下一个角块P-ABC，其中PA,PB,PC是两两垂直的,我们称这样的四面体为直角四面体. 直角四面体在空间几何中的作用, 相当于直角三角形及勾股定理在 平面几何中的作用.学好直角四面体,是学好空间几何的基本功 直角四面体的主要性质: (1)以直角顶为顶点的△PAB,△PBC,△PAC都是直角三角形.但是底面△ABC一定是锐角三角形.(曾经的高考题,如何证明?) (2)如果直角四面体的3条直角棱长分别为,那么它的体积; (3)这个直角四面体外接球的半径为(这是因为它与以为3度的长方体同一个外接球) (4)(高考题)如果直角四面体的3个直角面的面积分别为 而底面积为S,则必有 . 公式(1)实际是勾股定理在空间的推广 【证明】作AD⊥BC于D,连AD. △PBC为直角三角形且BC为斜边, ∴D∈BC;由PA⊥PB,PA⊥PC.知PA⊥平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.作PH⊥AD于H.由直角三角形比例中项定理知有.从而得: 同理 三式相加，即得： 也就是. (5)在上图中设PH=h,则由公式(1)由可推出: 证明如下:依据体积法: (6)若设△PBC,△PCA,△PAB与平面ABC的夹角依次为α.β,γ,则由投影公式及公式(1)可推出: 证明如下:在原图中,有: 同理: 三式相加,即得: (7) 若设直角四面体的3条直角棱与底面的夹角依次为α,β,γ.则又有: 这可以直接由公式(2)推出: 直角四面体的性质还可推出一些.但是用途最广的是以上7条.精准,熟练地掌握好这7条,你的解题能力必会大幅度提高. 经典题例 【例1】如图:棱长为2的正方体中, E,F,G为3条棱的中点,求四面体 D1-EFG的体积 这道题是另一位网友传来的.表面上看几乎难以下手.但若熟练掌握了以上直角四面体的各项知识.解法可以轻而易举,甚至能 够“秒杀” 【解析】由条件知四面体B-EFG是直角四面体.其3条直角棱长都是1. 连结BD1交平面EFG于H,则BH⊥平面EFG于H,且 但正方体棱长为2,故 四面体D1-EFG与 四面体B-EFG同底,且高的比为5. 【题2】(湖北黄冈经典名题题）如图，在正三棱锥S—ABC中，M，N分别为棱SC，BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为 （ ） A．9 B．12 C．16 D．32 【解析】既然S－ABC是正三棱锥，必有 SB⊥AC）.MN是△SBC的中位线，∴MN∥SB. 已知，，故SB⊥平面SAC, 故知此三棱锥为直角四面体。 如解图，将此直角四面体补成正方体ASCD-EBFP，则此正方体与原三棱锥外接球相同，其直径为：，半径， 故所求外接球表面积,故选A. 【例3】(2025东南大学强基题) 四面体ABCD满足 AC=AD=BC=BD=3, 求四面体ABCD体积的最大值, 【解析】这个四面体ABCD 有4条棱长度为3,只有两条异面棱 AD.BC长度未知.当且仅当它们相等时有最大值.将此四面体补形为长方体AGDH-EBFC. 由AC=AB=3.可设EB=EC=m. 继设AE=n,由勾股定理知: 而以E,F,G,H为顶点的四个直角四面体的体积都是故 当且仅当从而时,该四面体有最大值 【例4】2025届.武汉9月起点考. 15题(13分)如图,在四棱锥ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD, P- AB=AD=2,BC=1,PD⊥平面PAB. (1)求PC的长; (2)若PD=1,求直线PA与 平面PCD所成角的正弦值 【解析】(1).取AD中点 E,连CE,PE,由PD⊥平面PAB ,知PD⊥PA.则又知AB⊥AD且AB⊥PD,∴AB⊥平面PAD,从而CE⊥平面PAD,但CE∥AB,∴CE⊥PE,∵CE=AB=2,故 (2) 连结AC.作PF⊥AD于F.由(1)知PF⊥面ACD. 继作AH⊥平面PCD于H,连PH.则∠APH是直线PA与平面PCD所成角.设其大小为α.由体积原理: 已知PD=1,知△PAD为含30°角的直角三角形, 易求.又知:PD=1.由海伦公式: 全部代入(1):. 评注:本题目标不是求体积,但解题中运用了体积变换,所以称为“体积法”. 【例5】现在回到文初.如果正方体的棱长为1,那么这个内接12面体的体积是多少? 【解析】(割补法)正方体的体积是1. 从中割下以A1,B1,C1,D1为顶点的4个全等的直角四面体.例如直角四面体A1-AED1,其体积是 再从中割下以A,B,C,D为顶点且 全等的4个四棱锥.例如四棱锥B-EQRG. 由三角形中位线定理知:其底面菱形的两条对角线分别是体对角线AC1和面对角线B1C之半.故 以下再求它的高. 注意这个四棱锥除外. 其余各棱长都是故必关于平面BER对称.作BT⊥ER于T.设BT=x,则由勾股定理: 于是 故所求12面体的体积 练习题及参考答案 1.(高考题)若正四面体的棱长 为则其体积为 1.如图.将此四面体置于棱长 为1的正方体之中,则该四面体的各 条棱恰为正方体的6条面对角线. 正方体的体积为1,从中去掉正四面 体周边的4个直角四面体,每个体积都是故 于是这个长方体的体对角线之长， 从而所求外接球的半径，故选C. 2.(2025.全国1卷17(3)) 正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为4, E,F分别为A1D1,C1B1的中点,CG=3GC1, 求三棱锥D-FBE的体积 3.如解图,为求四面体 D-FBE的体积,选择易求面积的△BEF 为底,而后再求此面上的高. 连结AE,则四边形ABFE为矩形, 且AE=BF 取AA1中点M,连DM交AE于H.易知Rt△ADM≌Rt△AA1E. 由平面几何知识知AE⊥DH.且 故所求四面体D-FBE的体积 3.(竞赛题)一个四面体的3组对棱长分别为那么它的体积是( ) 3.A.如图,作该四面体ABCD外接长方体BECD-GHFA.并设此长方体的3度为x.y.z,则有: 易得x=5,y=3,z=4 于是故选A. 4.(2025中国科学技术大学 少年班/创新试点班 初试)圆锥的全面积 为π,则它的体积最大值是 4..如图,设圆锥底半径为r, 母线长为高为h.由题意知: 故其体积 当且仅当时.圆锥由最大值 5.(高考题)如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ． 5.如图，这个四面体是由平面△ABC沿BD折叠而成.故当平面PBD⊥平面ABC时体积更大.继设DP=DA=x,△PBD中BD边的高为h,则必h≤x.故当PD⊥底面ABC时面积更大. 由余弦定理知 ． . 当且仅当,即时,该四面体有最大体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$