第六讲 全等三角形的判定“角边角（ASA）或角角边（AAS）”（新知预习+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题）-2025-2026学年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（人教版）

第六讲 全等三角形的判定“角边角（ASA）或角角边（AAS）” （导图指引+新知预习精讲+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题） 【复习回顾】 【思考】目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？ 1. “边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等 2. “边角边”或“SAS” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 【新课导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 通过前面的学习活动，我们探究了两个三角形满足三个条件的前三种情况，这节课我们继续探究第四种情况. 【推进新课】 【思考】已知一个三角形的两角和一条边，那么这两角与这一条边有几种位置关系？ 新知学习1：三角形全等的判定“角边角” 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 ① 画A′B′=AB； ② 在A′B′的同旁画∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′ 结论：这两个三角形重合 【归纳】 三角形全等“角边角” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 典例精讲 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE． 【回顾导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 典例精讲 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．B C A D 新知学习2：三角形全等的判定“角角边” 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF . 求证△ABC ≌△DEF. 【归纳】 三角形全等“角角边” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （AAS） 典例精讲 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证（1）△BDA≌△AEC； 【方法总结】 利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，关键在于运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转换. 小结：三角形全等的判定方法 模块一 用“角边角（ASA）或角角边（AAS）”证明三角形全等 例1 （24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 演练1 （23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 演练2 （24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 演练3 （22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 模块二 全等三角形的性质与“角边角（ASA）或角角边（AAS）”的综合 例2 （24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 演练1 （22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 演练2 （24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 演练3 （24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 1．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）甲、乙两人在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图所示）．然后对各自所作的辅助线描述如下，甲：过点作的中线，交于点．乙：作的角平分线．下列判断正确的是（ ） 已知：如图，在中，． 求证：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，嘉琪站在河边的点A处，在河对面（嘉珙正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道此时电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔､树与自己现处的位置E在一条直线时，测得米，则电线塔离点A的距离是（   ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为 个单位长度． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，和均为正方形，为等腰直角三角形，在如图放置情况下，请写出、、、、之间的关系 ． 8．（17-18八年级上·广东汕头·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，阳阳为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点P，测得视角，量得点P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离米．求楼高． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期末）下列命题为假命题的是（   ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．三角形中至少有一个角不大于 D．有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 14．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为 ． 16．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    17．（2023·云南昆明·三模）如图，在和中，，，求证：． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 19．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值． 20．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 全等三角形的判定“角边角（ASA）或角角边（AAS）” （导图指引+新知预习精讲+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题） 【复习回顾】 【思考】目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？ 1. “边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等 2. “边角边”或“SAS” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 【新课导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 通过前面的学习活动，我们探究了两个三角形满足三个条件的前三种情况，这节课我们继续探究第四种情况. 【推进新课】 【思考】已知一个三角形的两角和一条边，那么这两角与这一条边有几种位置关系？ 新知学习1：三角形全等的判定“角边角” 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 ① 画A′B′=AB； ② 在A′B′的同旁画∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′ 结论：这两个三角形重合 【归纳】 三角形全等“角边角” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 典例精讲 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE． 分析：求证AD=AE 证明 △ACD≌△ABE ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∠B=∠C（已知） 证明：在△ACD 和△ABE 中， ∴　△ACD ≌△ABE（ASA）∴　AD =AE． 【回顾导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 带 1 去，因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 典例精讲 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．B C A D 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA） 新知学习2：三角形全等的判定“角角边” 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF . 求证△ABC ≌△DEF. 证明：在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C =180°， ∴∠C = 180°-∠A-∠B. 同理∠F =180°-∠D -∠E. 又 ∠A =∠D， ∠B =∠E， ∴∠C = ∠F . 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC ≌△DEF（ASA） 【归纳】 三角形全等“角角边” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （AAS） 典例精讲 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证（1）△BDA≌△AEC； 证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90° ∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠ABD=∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∴△BDA≌△AEC.（AAS） （2）DE=BD+CE. 证明：∵△BDA≌△AEC， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AE+DA=BD+CE 【方法总结】 利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，关键在于运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转换. 小结：三角形全等的判定方法 模块一 用“角边角（ASA）或角角边（AAS）”证明三角形全等 例1 （24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【规范解答】证明： ， ， 即：． ，， ． 演练1 （23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析, ； (2)见解析； (3)33． 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作图，再根据全等三角形的判定定理分析即可； （2）利用“”证明全等即可； （3）由（2）可知，得到，，根据的周长得到，即可求出的周长． 【规范解答】（1）解：如图，点为所求作，作图依据是； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ； （3）解：由（2）可知， ，， 的周长为15， ， ， 的周长． 演练2 （24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 演练3 （22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 【答案】/ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质． 延长交直线a于F，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，推出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据即可得到结论． 【规范解答】解：延长交直线a于F， 于点D，于点E， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 模块二 全等三角形的性质与“角边角（ASA）或角角边（AAS）”的综合 例2 （24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由，，得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得到，，进而即可证明． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴． 演练1 （22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 【答案】这幢楼的高度米． 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：这幢楼的高度米． 演练2 （24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）2（4）6 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键； （1）由题意可得可得出，再证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （2）同（1）证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （3）过E作于M，的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知，，证得，继而得出，，据此求解可得答案． （4）证明，可得，再作，可得，进而得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过E作于M，的延长线于N，    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则 ． （4）∵，， ∴， 又∵， ∴， ． 如图所示，过点A作于，则，． ， ． ， 与的面积之和为6． 演练3 （24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【规范解答】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 1．（19-20八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【思路引导】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【规范解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：在和中， ， ∴； 故选C． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）甲、乙两人在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图所示）．然后对各自所作的辅助线描述如下，甲：过点作的中线，交于点．乙：作的角平分线．下列判断正确的是（ ） 已知：如图，在中，． 求证：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据辅助线的作法，判断能否证明即可得出结论． 【规范解答】解：甲：过点A作的中线，则，又，， 不符合三角形全等的判定方法，故甲的作法不正确； 乙作辅助线的方法正确， 证明如下： ∵作的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，嘉琪站在河边的点A处，在河对面（嘉珙正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道此时电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔､树与自己现处的位置E在一条直线时，测得米，则电线塔离点A的距离是（   ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，证明，得出米，即可得解． 【规范解答】解：由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴电线塔离点A的距离是20米， 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【规范解答】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为 个单位长度． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过点作轴于点，根据证明，从而得到，推出点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质，得出点的运动轨迹是解题的关键. 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， 由题意可得: ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，和均为正方形，为等腰直角三角形，在如图放置情况下，请写出、、、、之间的关系 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．依题意，，，，证明，得，，进而利用梯形的面积公式得，即可得解． 【规范解答】解：依题意，，， ，， ，四边形是梯形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故答案为：． 8．（17-18八年级上·广东汕头·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路引导】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，，结合，利用证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解： ，， ， ， ． 10．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，阳阳为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点P，测得视角，量得点P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离米．求楼高． 【答案】26米 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出即可． 【规范解答】解：根据题意，得，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，即楼高为26米． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期末）下列命题为假命题的是（   ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．三角形中至少有一个角不大于 D．有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【思路引导】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、余角和补角的概念、三角形的内角和定理与全等三角形的判定逐一判断即可． 【规范解答】解：、同位角不相等，两直线不平行，是真命题，不符合题意； 、一个角的余角不一定大于这个角，例如角的余角是，，故本选项命题是假命题，符合题意； 、三角形中至少有一个角不大于，真命题；不符合题意； 、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； 故选：． 12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【规范解答】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故③错误， 故选：B 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为 ． 【答案】米 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够通过已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等是解决本题的关键． 先通过角平分线的定义得到一组角相等，再根据全等三角形的判定定理“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（）”证明两个三角形全等，从而得到，进而求出的长度． 【规范解答】 为的平分线， ， 在和 中： ， 米， 即池塘两侧 ，之间的距离为米． 故答案为：米． 16．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【规范解答】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 17．（2023·云南昆明·三模）如图，在和中，，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图，过点E作垂直交于点G，然后证明可得，进而得到，再证明得到即可证明结论． 【规范解答】证明：如图，过点E作垂直交于点G， ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点F是的中点． 19．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）由三角形的高的概念可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，于是得解； （2）由（1）得，，利用可证得，于是可得，由此即可求出的长； （3）由三角形外角的性质可得，，进而可得，依题意得，，然后分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：的两条高与交于点O， ， ，， 又， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得：，， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， ， 依题意得：，， 点F是射线上一点，且， 分以下两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， 当与全等时，点在的延长线上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； ②当点在线段的延长线上时， ， 当与全等时，点在线段上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； 综上，当与全等时，的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用（几何问题），三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 20．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【思路引导】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明； （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$