第七讲 全等三角形的判定“HL（斜边、直角边）”（新知预习+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题）-2025-2026学年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（人教版）

第七讲 全等三角形的判定“HL（斜边、直角边）” （新知预习精讲+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题） 【复习回顾】 【新课导入】 【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 【推进新课】 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ 新知学习1：直角三角形全等的判定 “HL” 【探究】 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 （1） 画∠MC′N =90°； （2）在射线C′M上取B′C′=BC； （3） 以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′N于点A′； （4） 连接A′B′． 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 【归纳】直角三角形全等“斜边、直角边” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 【拓展】直角三角形中三边满足a²+b²=c²，也就是说，已知直角三角形两边，便能求第三边. 思考：HL的实质是什么？ SSS 直角三角形任意两边相等都能证全等. 典例精讲 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD． 证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD， ∴　∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA，AC = BD， ∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL） ∴BC =AD （全等三角形对应边相等） 变式训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）； （4） （ ）． 典例精讲 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：由题可知∠D=∠F=90° AD=AF，AC=AE ∴在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）∴DC=FE. 又在Rt△ADB和Rt△AFB中， ∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）， ∴DB=FB. BC=BD-DC，BE=BF-FE， ∴BC=BE. 【方法总结】 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 【归纳】两个三角形全等判定思路 【课堂小结】 模块一 用“HL”证明三角形全等 例1 如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【规范解答】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 演练1 （24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)， 【思路引导】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【规范解答】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 演练2 （24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）【问题提出】八（1）班的数学学习兴趣小组在学习了苏科版八年级上册数学课本第1章“数学活动”《关于三角形全等的条件》后，对三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）有了更加深刻的理解，小组同学根据数学活动中提出的问题，继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和，，，，根据________，可以知道． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和，，，，且、都是钝角，求证：． 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）在和，，，，且、都是锐角，请你用尺规在图③中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，若________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【思路引导】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细； （1）直接利用定理得出； （2）首先得出，则，进而得出，再求出； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； （4）利用（3）中方法可得出当时，则． 【规范解答】解：（1）如图①， ， 在和中，， ， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ，且、都是钝角， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ； （3）解：如图③中，在和，，，， 和不全等； （4）解：由图③可知，， ， 当时，就唯一确定了， 则． 当，时，即， 在和中，， ， 故答案为：或． 演练3 阅读下面材料，完成（1）-（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．” 小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．” 老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．” （1）求证：BE＝CD； （2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）； （3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）∠AFE＝；（3）EF＝FC+2GF，见解析 【思路引导】（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE； （2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可证点A，点E，点C，点F四点共圆，可得∠AFE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠AFE的度数； （3）结论：EF＝FC+2GF．由题意可得∠AFD＝＝∠AFE，过点作AH⊥BE，可证△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可证Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝2GF可得结论． 【规范解答】证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α， ∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE ∴△ADC≌△ABE（SAS） ∴DC＝BE． （2）∵△ADC≌△ABE ∴∠AEF＝∠ACD ∴点A，点E，点C，点F四点共圆 ∴∠AFE＝∠ACE ∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α ∴∠ACE＝， ∴∠AFE＝． （3）结论：EF＝FC+2GF． 理由：∵△ADC≌△ABE ∴∠ADC＝∠ABE ∴点A，点D，点B，点F四点共圆 ∴∠AFD＝∠ABD ∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α ∴∠ABD＝， ∴∠AFD＝， ∴∠AFE＝∠AFD 如图，过点作AH⊥BE， ∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF ∴△AGF≌△AHF（AAS） ∴AG＝AH，GF＝HF， ∵AG＝AH，AE＝AC ∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL） ∴GC＝HE ∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF， ∴EF＝FC+2GF． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 模块二 全等的性质与HL综合 例2 （24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 【规范解答】解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 演练1 （24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）由（1）可知，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ． 演练2 （24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，延长到G，使，连接，，根据全等三角形的判定定理求出，根据全等三角形的性质得出，，，求出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，，，再进行判断即可． 【规范解答】解：延长到G，使，连接，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∴平分，故②正确； 根据已知不能推出，平分，故①③不正确； 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∵四边形的周长是15， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积，故④正确； 综上，正确的有②④． 故选：C． 演练3 （24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)①；② 【思路引导】（1）由可得，，再由证得，最后根据全等三角形的性质即可证得结论； （2）在轴负半轴上截取，连接，即可证得，，进而可得知面积分别相等和，再由面积公式即可求得结论； （3）①过点作于，由可证，继而可知，，即可求解；②在上截取，连接，由可证和，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， ， ，， ， 轴，轴，， 四边形是正方形， 在和中， ， ， ． （2）如图，在轴负半轴上截取，连接， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ． （3）①如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的条件是解题的关键 ．依据全等的判定方法判定即可． 【规范解答】解：①若， 因为，但没有提及或，所以无法确定和一定全等，如图， 故选:D． ②若， ，， ， ②成立．如图， 故选：． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的处，此时梯子与水平地面的夹角为，点到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，于点，且，若，则的值为（   ） A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题关键．证明，得到，即可求出． 【规范解答】解：∵，于点， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判定三角形全等的方法．根据全等三角形的判定与性质逐一进行判断即可． 【规范解答】解： ， 在和中 ，故正确； ， ． 在和中 ，故正确； 在和中 ． ． 在和中 ，故正确； 在和中， ． ． 在和中 ，故正确； 能作为添加条件的是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【思路引导】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【规范解答】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8/8或4 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 10．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）为了测量某池塘的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在池塘西边点A处插一根标杆，测得另一根标杆B恰好在正东方向，测量方案如表： 调题 测量池塘宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 组到 第一小组 第二小组 测量方案 在地面选择点，使，，且点，，和点，，都在一条直线上． 从点出发，沿着南偏西方向笔直前进至，并在方向沿途插下四根标杆，，，． 示意图 (1)第一小组认为要知道池塘宽度，只需测量______的长度，并说明理由． (2)第二小组的方案需要选择一根标杆点与连结，并测量出相关线段即可求出的长． 选择标杆______（填写，，，），测量图上线段______ ，还需测量哪些线段或者角度（测量长度精确到，角度精度到．） 已知的实际长度为，请根据前面测量数据计算出池塘宽度的长． 【答案】(1)； (2) ，； ． 【思路引导】（）证，即可得解； （）选取，，使得，，量取，，证明，可得，量取，，可得的长； 利用即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形解决实际问题． 【规范解答】（1）解：要知道池塘宽度，只需测量，理由如下， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：选取，，使得，，量取，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， 池塘宽度的长约为， 故答案为：，；． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 12．（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（　　） A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：选①或②或③， 理由：当选①时： ∵，，， ∴， ∴； 当选②时， ∵，，， ∴， ∴； 当选③时， 过D、E分别作、的垂线交点G与点H． 在和中， ，，， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（    ） A．①或② B．①或③ C．②或③ D．①或②或③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：选①或②或③， 理由：当选①时： ∵，，， ∴， ∴； 当选②时， ∵，，， ∴， ∴； 当选③时， 过D、E分别作、的垂线交点G与点H． 在和中， ，，， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 14．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 【答案】2或6/6或2 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：∵ ，， ∴， ∵， 当时， ∴， 设运动时间为， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得： 故答案为：2或6． 15．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．过点Q作交的延长线于点N，先证明，得，再证明，得，然后证明，据此即可得出结论． 【规范解答】解：如图，过点Q作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【思路引导】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 【规范解答】解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 17．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【思路引导】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明； （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 18．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【思路引导】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． 【规范解答】（1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【思路引导】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【规范解答】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【规范解答】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲 全等三角形的判定“HL（斜边、直角边）” （新知预习精讲+2个考点分类讲练+难度分层随堂练 共28题） 【复习回顾】 【新课导入】 【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 【推进新课】 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ 新知学习1：直角三角形全等的判定 “HL” 【探究】 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 （1） 画∠MC′N =90°； （2）在射线C′M上取B′C′=BC； （3） 以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′N于点A′； （4） 连接A′B′． 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 【归纳】直角三角形全等“斜边、直角边” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 【拓展】直角三角形中三边满足a²+b²=c²，也就是说，已知直角三角形两边，便能求第三边. 思考：HL的实质是什么？ SSS 直角三角形任意两边相等都能证全等. 典例精讲 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD． 变式训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）； （4） （ ）． 典例精讲 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 【方法总结】 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 【归纳】两个三角形全等判定思路 【课堂小结】 模块一 用“HL”证明三角形全等 例1 如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 演练1 （24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 演练2 （24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）【问题提出】八（1）班的数学学习兴趣小组在学习了苏科版八年级上册数学课本第1章“数学活动”《关于三角形全等的条件》后，对三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）有了更加深刻的理解，小组同学根据数学活动中提出的问题，继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和，，，，根据________，可以知道． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和，，，，且、都是钝角，求证：． 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）在和，，，，且、都是锐角，请你用尺规在图③中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，若________，则． 演练3 阅读下面材料，完成（1）-（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．” 小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．” 老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．” （1）求证：BE＝CD； （2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）； （3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明． 模块二 全等的性质与HL综合 例2 （24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 演练1 （24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： (1)； (2)． 演练2 （24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 演练3 （24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的处，此时梯子与水平地面的夹角为，点到墙角的距离为，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，于点，且，若，则的值为（   ） A．14 B．12 C．9 D．7 6．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    8．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，，于，于．求证：． 10．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）为了测量某池塘的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在池塘西边点A处插一根标杆，测得另一根标杆B恰好在正东方向，测量方案如表： 调题 测量池塘宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 组到 第一小组 第二小组 测量方案 在地面选择点，使，，且点，，和点，，都在一条直线上． 从点出发，沿着南偏西方向笔直前进至，并在方向沿途插下四根标杆，，，． 示意图 (1)第一小组认为要知道池塘宽度，只需测量______的长度，并说明理由． (2)第二小组的方案需要选择一根标杆点与连结，并测量出相关线段即可求出的长． 选择标杆______（填写，，，），测量图上线段______ ，还需测量哪些线段或者角度（测量长度精确到，角度精度到．） 已知的实际长度为，请根据前面测量数据计算出池塘宽度的长． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 12．（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（　　） A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③ 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（    ） A．①或② B．①或③ C．②或③ D．①或②或③ 14．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 15．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点，且，于点．若，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 17．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 18．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 19．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 20．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$