精品解析：青海省海南州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用馚皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（ ） A. 240 B. 200 C. 300 D. 100 3. 已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 6. 在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 13. 已知为互斥事件，且，则__________. 14. 某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量（单位：g），将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下： 第一组数据（A产地）： 第二组数据（B产地）： 已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等． （1）求m，n； （2）请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由． 16. 如图，在长方体中，分别是棱的中点. （1）证明：平面. （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 18. 在中，角的对边分别是，向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用馚皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（ ） A. 240 B. 200 C. 300 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的定义列出比例式即可求解. 【详解】由题意可得B型号的零件被抽到的数量是． 故选：B. 3. 已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】由单位向量的夹角的余弦值为，得， 所以. 故选：D 4. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 5. 某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数. 【详解】由图可得，得， 所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为． 故选：A 6. 在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设营地为点，小时后，队员甲所在地为点，队员乙所在地为点， 可得千米，千米，且， 由余弦定理得， 则千米. 故选：B. 7. 从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出两数之积大于8包含的基本事件个数，由此能求出两数之积大于8的概率. 【详解】这个试验的样本空间，， 包含10个样本点．设事件“这两个数字之积大于8”， 则，，包含4个样本点， 所以． 故选：D. 8. 在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示， 因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的实部是 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 11. 已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，可得，，和，四种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，根据共轭复数的定义，可得. 故答案为：. 13. 已知为互斥事件，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 故答案为：. 14. 某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 【答案】 【解析】 【分析】只需根据题意求得该球形创意冰激凌的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设，分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心， 四边形是该圆台容器的轴截面，圆是球形创意冰激凌的截面， ，分别为圆切，的切点，则，. 作，垂足为，则，，. 因为，所以， 则，即该球形创意冰激凌的半径为4， 故该球形创意冰激凌的体积为立方厘米. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量（单位：g），将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下： 第一组数据（A产地）： 第二组数据（B产地）： 已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等． （1）求m，n； （2）请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由． 【答案】（1），； （2）估计A产地的玉菇甜瓜重量更稳定，理由如下： 第一组数据的平均数为 方差为， 第二组数据的平均数为 方差为， 因为，所以估计A产地的玉菇甜瓜重量更稳定． 【解析】 【分析】（1）利用极差相等求参数m，由第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等求参数n； （2）求出两个产地所得数据的均值和方差，比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 由题意得，得 因为，所以第一组数据的第60百分位数为， 又第二组数据的中位数为，所以，得 【小问2详解】 略 16. 如图，在长方体中，分别是棱的中点. （1）证明：平面. （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【点睛】 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算； （2）利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【小问1详解】 根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， 【小问2详解】 根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 18. 在中，角的对边分别是，向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角； （2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解； （3）有正弦定理可得，再利用和差及辅助角公式化解，结合锐角三角形确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为. 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 故， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 则，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $