精品解析：山东省滨州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

试卷类型：A 高一数学试题 2025.7 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座号填写在答题卡指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．在考试结束后将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】、利用补集、并集的定义求解即得. 【详解】全集，集合，则， 因为， 所以. 故选：C 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】当时，， 所以，所以，充分性成立； 当时，， 解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（ ） A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定数据，求出三天中至少有两天下雨的随机数组数即可计算作答. 【详解】依题意，20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有： 446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组， 所以三天中至少有两天下雨的概率约为. 故选：B 4. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合两角差的正切公式求得. 【详解】由 得， 故选：A. 6. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与方向上的单位向量， 因为，所以的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 7. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 4，14 B. 4，16 C. 5，14 D. 5，16 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数公式可得，由方差公式可得，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】由样本数据的平均数为，方差为，得，， 则，， 因此数据，的平均数为 ， 方差为 . 故选：C 8. 在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确是（ ） A. z的虚部为1 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断即得. 【详解】复数， 对于A，z的虚部为，A错误； 对于B，z的共轭复数为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，z在复平面内对应点位于第三象限，D错误. 故选：BC 10. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】对于A，与互斥，则，A正确； 对于B，与相互独立，则，，B正确； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，发生时一定发生，即，，D正确. 故选：ABD 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用向量垂直、模、向量共线依次判断ABC；求出投影向量判断D. 【详解】向量，则， 对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，，，向量在向量上的投影向量，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，，则该棱台的体积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，进而利用台体体积公式进行求解. 【详解】上下底面中心分别为，连接，过点作⊥于点， 则， 因为，，所以，故， ， 由勾股定理得， 则该棱台的体积为. 故答案为： 13. 一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是___________海里. 【答案】. 【解析】 【分析】在中，依题意得，，，进而由正弦定理可得结果. 【详解】依题意可知，在中，，，，所以. 由正弦定理得，即，解得（海里）. 故答案为：. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，利用余弦定理求出，再利用正弦定理，结合三角恒等变换求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而，解得， 由是锐角三角形，得，则 由正弦定理， 得 ， 因为，所以， 所以， 所以 所以周长的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PD的中点．请用几何法求解下列问题： （1）证明∶ 平面； （2）设，求直线BM与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）取中点，利用几何法求出线面角的正切. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，连接， 由为正方形，得是的中点，而M为PD的中点， 则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由M为PD的中点，得， 而平面，则平面，是直线BM与平面所成的角， ，在中，， 所以直线BM与平面所成角的正切值是. 16. 某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中m的值； （2）估计这次测试成绩的第70百分位数； （3）用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于和内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件“抽取的两人的测试成绩分别位于和内”，求事件A的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于的方程. （2）根据大于第70百分位数的频率为0.3求解即可. （3）首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，得， 所以. 【小问2详解】 测试成绩在第70百分位数右侧的频率为0.3，测试成绩位于的频率， 测试成绩位于的频率， 因此第70百分位数，则，解得， 所以第70百分位数为 【小问3详解】 测试成绩位于的频率，位于的频率， 由，得抽取的6人中成绩在内的有4人，分别记为， 成绩在内的有2人，分别记为， 从6人中随机抽取2人的样本空间： ，共有15个样本点， 其中，共8个样本点， 所以概率为. 17. 在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求张志通过面试的概率； （3）求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 【答案】（1）0.24； （2）0.75； （3）0.96. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算得解. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. （3）利用对立事件及相互独立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 令“李明第次答对题目”，，则， 李明第二次答题通过面试的事件为，而相互独立， 所以李明第二次答题通过面试的概率. 【小问2详解】 令“张志第次答对题目”，，则， 张志通过面试的事件， 所以张志通过面试的概率. 【小问3详解】 李明通过面试的事件，则， 李明和张志至少有一人通过面试的事件，则. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①3；②. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）①由（1）的结论，利用余弦定理求解；②利用正弦定理，结合三角恒等变换求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得，整理得， 而，则，又， 所以 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理得， 则，而，则， 所以. ②在中，由正弦定理，得， 在中，，则，即， 而，则，， 因此 ，而，于是，， 所以的取值范围是. 19. 在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题： （1）证明：； （2）当平面平面时，求二面角的正弦值； （3）若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成的角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在图1中，借助余弦定理证得，利用线面垂直的判定推理得证. （2）取的中点，作出二面角的平面角，利用几何法求出面面的正弦. （3）在线段上取点，使得，利用异面直线所成角意义可得，进而求出范围. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，则， 在中，，， 则，即，由，点是的中点，得， 由点是的中点，得，则，而，平面， 所以平面 【小问2详解】 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而平面，则，取的中点，连结， 由，得，而， 则，又平面， 因此平面，又平面， 则，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 在线段上取点，使得， 则，，，， 由平面，平面，得，因此， 于是， 则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 高一数学试题 2025.7 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座号填写在答题卡指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．在考试结束后将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（ ） A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6 4. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（ ） A 4，14 B. 4，16 C. 5，14 D. 5，16 8. 在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为1 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知事件，发生概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，，则该棱台的体积为_______． 13. 一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是___________海里. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PD的中点．请用几何法求解下列问题： （1）证明∶ 平面； （2）设，求直线BM与平面所成角的正切值． 16. 某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中m的值； （2）估计这次测试成绩的第70百分位数； （3）用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于和内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件“抽取的两人的测试成绩分别位于和内”，求事件A的概率． 17. 在某985高校强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求张志通过面试的概率； （3）求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 19. 在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题： （1）证明：； （2）当平面平面时，求二面角的正弦值； （3）若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$