微专题03 几何图形初步中常见的几何模型（线段分点模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题03 几何图形初步中常见的几何模型 线段分点模型 几何图形初步是初中阶段几何知识的起步，是整个初中几何知识的基础，有着承上启下的重要作用；而其中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会归纳出一些简单的模型问题，这样就可以快速解决一些简单的几何初步的题型；体会模型中其各种变化和联系以达到解决问题的效果。本专题主要讲解“线段的分点”模型． 模型来源 “线段分点模型”指的是用数学公式（特别是坐标公式和向量公式）来描述和计算点如何按给定比例分割一条线段（或其延长线）的系统方法。它涵盖了内分点和外分点两种基本情形，是解析几何和向量几何中处理线段比例问题的最基础、最核心的工具之一。其来源是人们对几何对象位置进行数学化表达的普遍需求。该模型并非源于某个单一的具体定理，而是数学家在研究几何问题时，为了精确描述线段上的点所建立的通用数学工具和框架。 线段分点模型 一、例题讲模型 例1：如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 分析：（1）根据线段的中点以及和差关系，求解即可； （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求解． 解析：（1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 二、提炼模型 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】解：如图， 当点C在线段上时，则； 当点C在线段的延长线上时，则． 综合上述情况，线段的长度是． 故选：B． 2．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【解析】如图，∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选C． 3．如图，点、把线段分成：：三部分，若点为的中点，，则的长是 ． 【答案】 【解析】解：设，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 故答案为：． 4．C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， 分别是的中点， 故选： 5．已知点是线段的中点，点是线段的中点，那么线段的比值是 ． 【答案】 【解析】解：由题意得 ，， ∴． 6．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或 (2)或． 【解析】（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴ 或 ， ∴ 或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 模型运用 1．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（    ） A．AB=2AC B．AC+CD+DB=AB C．CD=AD-AB D．AD=（CD+AB） 【答案】D 【解析】A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意； B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意； C、由点C是线段AB的中点，则AC=AB，CD=AD-AC=AD-AB，正确，不符合题意； D、AD=AC+CD=AB+CD，不正确，符合题意． 故选：D． 2．如图M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CM=6cm,则AB= cm. 【答案】12 【解析】由点M、N把线段AB三等分得AM=MN=NB， 点C是NB的中点得NC=CB． 由线段的和差得CM=MN+NC=AM+CB=6． AB=AM+MC+CB =（AM+CB）+MC =2MC =12cm． 故答案是：12． 3．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长 ． 【答案】4.5cm 【解析】∵AB=24cm，D是AB中点， ∴AD=AB=12cm， ∵BC=AB， ∴BC=9，AC=AB+BC=33cm， ∵E是AC中点， ∴AE=AC=cm， ∴DE=AE-AD=-12=4.5cm， ∴DE=4.5cm． 4．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【解析】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 5．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析 【解析】解：分别是的中点， 分别是的中点 又 ∵， ∴在点的右边， 如图示： 分别是的中点， 又 只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 几何图形初步中常见的几何模型 线段分点模型 几何图形初步是初中阶段几何知识的起步，是整个初中几何知识的基础，有着承上启下的重要作用；而其中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会归纳出一些简单的模型问题，这样就可以快速解决一些简单的几何初步的题型；体会模型中其各种变化和联系以达到解决问题的效果。本专题主要讲解“线段的分点”模型． 模型来源 “线段分点模型”指的是用数学公式（特别是坐标公式和向量公式）来描述和计算点如何按给定比例分割一条线段（或其延长线）的系统方法。它涵盖了内分点和外分点两种基本情形，是解析几何和向量几何中处理线段比例问题的最基础、最核心的工具之一。其来源是人们对几何对象位置进行数学化表达的普遍需求。该模型并非源于某个单一的具体定理，而是数学家在研究几何问题时，为了精确描述线段上的点所建立的通用数学工具和框架。 线段分点模型 一、例题讲模型 例：如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 分析：（1）根据线段的中点以及和差关系，求解即可； （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求解． 解析：（1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 二、提炼模型 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 2．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 3．如图，点、把线段分成：：三部分，若点为的中点，，则的长是 ． 4．C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 5．已知点是线段的中点，点是线段的中点，那么线段的比值是 ． 6．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 模型运用 1．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（    ） A．AB=2AC B．AC+CD+DB=AB C．CD=AD-AB D．AD=（CD+AB） 2．如图M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CM=6cm,则AB= cm. 3．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长 ． 4．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 5．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$