培优2 隐零点问题 课件-2026届高三数学一轮复习

培优2　隐零点问题 1 目 录 类型1 不等式证明中的隐零点问题 类型2 与三角函数有关的隐零点问题 　　利用导函数讨论函数单调性等问题时,求解导函数的零点是解题过程中的关键一 步,但有时我们虽然能确定导函数的零点一定存在,但却很难求出具体的值,这类零点称 为“隐零点”.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求,利用整体代换思想,再结 合题目条件解决问题.   目 录 类型1　不等式证明中的隐零点问题 例    (高考真题精选改编)已知函数f(x)= ,a∈R.当a≤-1时,证明:f(x)≤ex-2-1. 思路导引       目 录 证明　当a≤-1时,要证f(x)≤ex-2-1,即证 +1-ex-2≤0,即证a≤xex-2-ln x-x, 令g(x)=xex-2-ln x-x,则g'(x)=(x+1)ex-2- -1=(x+1) ,  因为x>0,所以x+1>0,故只有 能决定g'(x)的正负  令h(x)=ex-2- ,x>0,则h'(x)=ex-2+ , 所以h'(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立, 故h(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)= -1<0,h(2)= >0, 目 录 所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0, 且当x∈(0,x0)时,h(x)<0, 即g'(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0, 所以g(x)在(x0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(x0).又因为h(x0)=0,所以 - =0, 即 = ,即x0 =1,即x0= , 所以ln x0=2-x0,所以g(x)min=g(x0)=x0 -ln x0-x0=1-(2-x0)-x0=-1, 又因为a≤-1,所以a≤g(x),原命题得证. 目 录 方法总结　隐零点问题的一般解题步骤   目 录 类型2　与三角函数有关的隐零点问题 例    已知函数f(x)=sin x+x2. (1)求曲线y=f(x)在点 处的切线方程; (2)证明:f(x)>- . 思路导引     (2)   目 录 解析    (1)f'(x)=cos x+2x, 则f' =π, 又f = +1, 所以曲线y=f(x)在点 处的切线方程为y=πx- +1,即4πx-4y-π2+4=0. (2)证明:由(1)得f'(x)=cos x+2x. 令函数u(x)=f'(x),则u'(x)=-sin x+2>0, 所以u(x)=f'(x)在定义域内单调递增. 因为f'(0)=1>0, f' =cos  -1<0, 目 录 所以存在x0∈ ,使得f'(x0)=cos x0+2x0=0,即 = cos2x0. 当x∈(-∞,x0)时, f '(x)<0,当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞) 上单调递增. 故f(x)≥f(x0)=sin x0+ =sin x0+ cos2x0=- sin2x0+sin x0+ . 因为x0∈ , 所以sin x0>sin >sin =- , 所以- sin2x0+sin x0+ >- × - + =- . 故f(x)>- . 目 录 技巧总结     　　与三角函数有关的隐零点问题中,三角函数的值域和周期性常常起到关键性作用, 如本题中,因为x0∈ ,所以sin x0>sin >sin =- ,即可得到f(x)最小值的一个 估计值,从而证明不等式成立. 目 录 $$