第一章 特殊平行四边形 达标测试卷 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》达标测试卷含答案 第一部分　选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.四边形ABCD是菱形，其中AB＝4 cm，则四边形ABCD的周长是（　　） A.5 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（　　） 第2题图 A.3 B.4 C.5 D.6 3.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（　　） A.4 cm2 B.2 cm2 C. cm2 D.2 cm2 4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A.∠A＝90° B.∠B＝∠C C.AC＝BD D.AC⊥BD 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，CD是AB边上的中线，则CD的长为（　　） 第5题图 A.24 B.12 C.8 D.6 6.如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　） 第6题图 A.41° B.51° C.49° D.59° 7.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为（　　） 第7题图 A.3 B.2 C.4 D.8 8.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝.下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD＋S△APB＝； ④S正方形ABCD＝2＋.其中正确结论的序号是（　　） 第8题图 A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 第二部分　非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，则∠ACB的度数为　　. 第9题图 10.菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的面积是　　cm2. 11.如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　　cm. 第11题图 12.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.如图，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为　　dm2. 第12题图 13.如图，在坐标系中，正方形OABC的边长为2，点P是x轴上一动点.若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1∶3，则点P的坐标为　　. 第13题图 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.（5分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF. 15.（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长. 16.（8分）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，连接BD，BE，ED. （1）求点B的坐标； （2）判断△BED的形状，并证明你的结论. 17.（8分）如图，在△ABD中，AB＝AD. （1）点C为BD的垂直平分线上一点，且点C在BD下方，CB＝AB，求作点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC，BD交于点O，点E为BC的中点，连接OE.若OE＝5，BD＝12，求AC的长. 18.（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE. （1）求证：CD＝AE； （2）若∠DCE＝25°，求∠B的度数. 19.（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°. （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若正方形的边长为2，求线段CE的长. 20.（12分）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，CD于点E，F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF. （1）求证：△ABG≌△ADF； （2）求证：AG⊥AF； （3）当EF＝BE＋DF时： ①求m的值； ②若点F是CD的中点，求BE的长. 参考答案 1.D　2.D　3.B　4.D　5.D　6.C　7.C 8.A　解析：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°. ∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∴∠BAE＋∠BAP＝∠BAP＋∠DAP＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP. ∵AE＝AP＝1， ∴△ABE≌△ADP（SAS）， ∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP. ∵△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝， ∴∠APD＝180°－∠APE＝180°－45°＝135°， ∴∠AEB＝135°， ∴∠BED＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°， ∴EB⊥ED， ∴①正确； ∴BE＝＝＝1＝AE， ∴②不正确； ∵△ABE≌△ADP， ∴S△ABE＝S△ADP. ∴S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S△AEP＋S△EPB＝AE·AP＋EP·BE＝×1×1＋××1＝， ∴③正确； 如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°. ∵∠BEO＝180°－∠AEB＝180°－135°＝45°， ∴△BOE是等腰直角三角形， ∴OE＝OB＝BE＝， ∴AO＝AE＋OE＝1＋. 在Rt△ABO中， ∵AB2＝AO2＋OB2＝（1＋）2＋（）2＝2＋， ∴S正方形ABCD＝AB2＝2＋， ∴④正确. 9.30°　10.24　11.8　12.2 13.（4，0）或（4－2，0）或（－2，0） 　解析：如图，①当∠CBP1∶∠ABP1＝1∶3时，则∠CBP1＝90°×＝45°， ∴BC＝CP1＝2， ∴OP1＝2＋2＝4，此时点P1的坐标为（4，0）； ②当∠CBP2∶∠ABP2＝1∶3时，则∠CBP2＝90°×＝22.5°. 连接OB，则∠OBC＝45°，OB＝＝2，此时BP2平分∠OBC. 过点P2作P2M⊥OB于点M，则P2M＝P2C＝OM＝2－2， ∴OP2＝OM＝4－2，此时点P2的坐标为（4－2，0）； ③当∠ABP3∶∠CBP3＝1∶3时， 则∠ABP3＝90°×＝22.5°＝∠BP3C＝∠OBP3， ∴OP3＝OB＝2，此时点P3的坐标为（－2，0）. 综上所述，点P的坐标为（4，0）或（4－2，0）或（－2，0）. 故答案为（4，0）或（4－2，0）或（－2，0）. 14.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 在△ABE和△ADF 中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF. 15.（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°. ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形. （2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12， ∴BD＝CD＝BC＝6. 由（1）可知：四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得AC＝＝＝10. ∵EF⊥AC， ∴S△AEC＝AC·EF＝AE·CE， ∴EF＝＝＝4.8， 即EF的长为4.8. 16.解：（1）正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上， ∴OA＝OC＝8， ∴点B的坐标为（8，8）. （2）△BED是直角三角形.证明如下： ∵点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点， ∴OD＝2，OE＝CE＝4，DA＝6， ∴ED2＝OD2＋OE2＝20，EB2＝BC2＋CE2＝80， DB2＝BA2＋AD2＝100， ∴ED2＋EB2＝DB2， ∴△BED是直角三角形. 17.解：（1）如图，点C即为所求. （2）由作图可知，AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝6. ∵BE＝EC，∠BOC＝90°， ∴BC＝2OE＝10， ∴OC＝＝＝8， ∴AC＝2OC＝16. 18.（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线， ∴DE＝AB＝BE＝AE. ∵DG垂直平分CE， ∴DE＝DC， ∴CD＝AE. （2）解：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠EDB＝∠DCE＋∠DEC＝2∠DCE＝50°. ∵DE＝BE， ∴∠B＝∠EDB＝50°. 19.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD. 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）. （2）解：∵正方形的边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2. ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF. ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＋∠DAF＝30°， ∴∠DAF＝15°. 如图所示，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°， 则AG＝FG，∠DGF＝30°， ∴DF＝FG＝AG，DG＝DF. 设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x. ∵AG＋DG＝AD， ∴2x＋x＝2，解得x＝4－2， ∴DF＝4－2， ∴CE＝CF＝CD－DF＝2－（4－2）＝2－2， ∴线段CE的长为2－2. 20.（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2， ∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°. 在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF（SAS）. （2）证明：∵△ABG≌△ADF， ∴∠GAB＝∠FAD， ∴∠GAF＝∠GAB＋∠BAF＝∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°， ∴AG⊥AF. （3）解：①∵△ABG≌△ADF， ∴AG＝AF，BG＝DF. ∵EF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋BG＝EG. 在△AEG和△AEF中， ∴△AEG≌△AEF（SSS）.∴∠EAG＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45. ②若点F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1. 设BE＝x，则CE＝2－x，EF＝EG＝1＋x. 在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2， 即（2－x）2＋12＝（1＋x）2， 解得 x＝.∴BE的长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$