13.3　三角形的内角与外角第1课时课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章　三角形 §13.3　三角形的内角与外角 第1课时　三角形的内角 目录 CONTENTS A 课前导航预习 B 课内精讲精练 C 课后分层作业 课前导航预习 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 ⁠. 如图，直线MN经过△ABC的顶点A，且MN∥BC，请完成下 面的推理. 解：∵MN∥BC， ∴∠B＝ ，∠C＝ ⁠. 又∠MAB＋∠BAC＋∠NAC＝ ⁠， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ ⁠. 180°　 ∠MAB　 ∠NAC　 180°　 180°　 2. 直角三角形的两个锐角 ；有两个角互余的三角形 是 三角形. 互余　 直角　 知识点　三角形的内角和定理 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°， ∠C＝70°. 课内精讲精练 典例探究 （1）求∠ADB的度数； 解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝100°. 变式 （2）若DE⊥AC，垂足为E，求∠EDC的度数. 解：（2）∵DE⊥AC， ∴∠EDC＝90°－∠C＝20°. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°， ∠C＝70°. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O. （1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠BOC的度数； 解：（1）∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°， BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝ ∠ABC＝35°， ∠OCB＝ ∠ACB＝25°， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝120°. 变式 （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，求∠BOC的度数； 解：（2）∵∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB ＝60°， ∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB） ＝120°. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于 点O. （3）若∠A＝70°，求∠BOC的度数； 解：（3）∵∠A＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝110°， ∴∠BOC＝180°－ （∠ABC＋∠ACB） ＝125°. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于 点O. （4）由上面的计算，直接写出∠A与∠BOC的关系. 解：（4）∠BOC＝90°＋ ∠A. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于 点O. 　　①已知三角形两个角的度数或两个角的度数和可求出第 三个角的度数；②已知三角形三个角之间的关系时，可根据 三角形的内角和定理建立方程求相关角度. 达标练　三角形的内角和定理及运用 达标小练 1. [2023·聊城改编]如图，分别过△ABC的顶点A，B作 AD∥BE. 若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠C的度数 是 ⁠. 75°　 1 2 3 4 5 2. 如图，线段AD，BC相交于点P，连接AB，CD. （1）如果∠A＝∠C＝90°，∠APB＝60°，那么∠B的度数 是 ，∠D的度数是 ⁠； （2）如果∠A＝∠C，那么∠B ∠D（填“＞”“＜” 或“＝”）. 30°　 30°　 ＝　 1 2 3 4 5 3. 如图，在点D处观测建筑物顶端A的仰角∠ADC＝45°，接 着向前走到点C处，观测建筑物顶端A的仰角∠ACB＝64°， 则从A处观测C，D两处的视角∠CAD的度数是 ⁠. 19°　 1 2 3 4 5 4. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D， DE∥BC交AC于点E. 若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE 的度数为 ⁠. 39°　 1 2 3 4 5 5. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE平分∠ABD，交AD于点E. 试猜想∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论. 解：∠BED＝90°－ ∠C. 证明如下： ∵AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC， ∴∠ABE＝ ∠ABC， ∠BAE＝ ∠BAC， ∴∠BED＝180°－∠AEB＝∠ABE＋∠BAE ＝ （∠ABC＋∠BAC） ＝ （180°－∠C）＝90°－ ∠C. 1 2 3 4 5 变式 1. 在△ABC中，∠A＝∠B＝ ∠C，则△ABC是（　C　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 C 课后分层作业 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE. 若 ∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的度数是 （　B　） A. 60° B. 70° C. 75° D. 85° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分 ∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度 数是（　B　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 在△ABC中，若∠B－∠A＝25°，∠C－∠B＝40°，则 ∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ⁠. 30°　 55°　 95°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 在△ABC中，若∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则 ∠A的度数是 ⁠. 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数 是 ⁠. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变式 7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若∠A＝26°，则∠CDE的度数是 ⁠. 71°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变式 8. 如图，小岛C在小岛A的北偏东50°方向，小岛B在小岛A 的北偏东80°方向，小岛C在小岛B的北偏东30°方向，求从 小岛C观测A，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：由题意，得∠DAC＝50°， ∠DAB＝80°，∠EBC＝30°， ∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30°. ∵AD∥BE， ∴∠ABE＝180°－∠DAB＝100°， ∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝130°， ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝20°， 即从小岛C观测A，B两岛的视角∠ACB的度数是20°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，在△ABC中，BE，CF是高，且BE与CF相交于点H，∠CBE与∠BCF的平分线相交于点O. （1）求证：∠ABE＝∠ACF； （1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠A＋∠ABE＝90°，∠A＋∠ACF＝90°， ∴∠ABE＝∠ACF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变式 （2）若∠ACB＝54°，∠ABC＝66°，求∠BOC的度数. （2）解：在△EBC中，∠CBE＝90°－∠ACB ＝36°. 在△FBC中，∠BCF＝90°－∠ABC＝24°. ∵BO，CO分别平分∠CBE，∠BCF， ∴∠OBC＋∠OCB＝ （∠CBE＋∠BCF） ＝ ×（36°＋24°）＝30°， 9. 如图，在△ABC中，BE，CF是高，且BE与CF相交于点 H，∠CBE与∠BCF的平分线相交于点O. ∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 在△ABC中，∠A＝50°，BD，CE是高，直线 BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数是 ⁠. 130°或50°　 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC 交BC于点E. （1）若∠B＝39°，∠C＝69°，求∠EAD的度数； （1）解：∵∠B＝39°，∠C＝69°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝72°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝ ∠BAC＝36°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠C＝21°， ∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 变式 11. 如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC交BC于点E. （2）若∠B＝β，∠C＝α（α＞β），求证：∠EAD＝ （α－β）. （2）证明：∵∠B＝β，∠C＝α， ∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝ ∠BAC. ∵AD⊥BC，∠C＝α，∴∠DAC＝90°－α， ∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC ＝ （180°－α－β）－（90°－α） ＝ （α－β）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 思维拓展 12. 如图，BE与CD相交于点A，EF平分∠DEB，CF平分 ∠BCD，探究∠F与∠B，∠D之间的数量关系. 解：∵∠D＋∠DEF＝∠F＋∠DCF， ∠B＋∠BCF＝∠F＋∠BEF， ∴∠B＋∠D＋∠DEF＋∠BCF＝2∠F＋ ∠DCF＋∠BEF. ∵EF平分∠DEB，CF平分∠BCD， ∴∠DEF＝∠BEF，∠BCF＝∠DCF， ∴∠B＋∠D＝2∠F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢谢观看 $$