精品解析：四川省成都市五城区统考2024-2025学年高一下学期期末适应性考试数学试题

2024-2025学年度下期期末适应性考试试题 高一数学 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.考生使用答题卡作答. 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 5.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 函数，的零点个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，，是上的两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则四边形是矩形 C. 若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量 D. 若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底 6. 在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 函数在的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数是奇函数 10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，对任意的非零实数和，则 B. 若，，则向量，的夹角为钝角 C. 若，，且和的夹角为，则 D. 若点在同一平面内，且，则三点共线 11. 如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则_____. 13. 在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 17. 如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接. （1）试用和表示； （2）若，，. ①求； ②求. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，. （1）求证：平面； （2）若，. ①证明：； ②求二面角的余弦值. 19. 若平面内的数轴，相交所成角为，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则有序数对（用斜括号表示有序数对）叫做向量的“半斜坐标”.已知在半斜坐标系内的，点在所在的直线上，且，. （1）求； （2）若，且（其中），. ①求向量与的夹角； ②当取得最小值时，求向量的半斜坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下期期末适应性考试试题 高一数学 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.考生使用答题卡作答. 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 5.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法结合共轭复数定义可得答案. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 故选：A 2. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接运用两角差的余弦公式 【详解】. 故选：D. 3. 函数，的零点个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】令得，结合，得到根的个数，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 故或或或，解得或或或， 所以零点个数为4. 故选：C 4. 如图，，是上的两点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的概念求值. 【详解】因为， 所以. 故选：B 5. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则四边形是矩形 C. 若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量 D. 若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算判断A；根据向量共线的特征判断B；根据相等向量，相反向量的定义判断C；根据平面向量的数量积的运算律可得，进而结合基底的概念判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，得不到四边形为矩形，如下图，可以为等腰梯形，故B错误； 对于C，若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量或相反向量，故C错误； 对于D，由，则， 即，所以，又，为非零向量，则不共线， 它们可以作为平面内所有向量的一个基底，故D正确. 故选：D. 6. 在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求出，，故，作出辅助线，得到则． 【详解】在中，由余弦定理可知， 即，解得， 因为，所以， 又因为，所以，且，作于点E， 则． 故选：D． 7. 如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】 设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得. 故选：A. 8. 如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】 如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 函数在的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；由可求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可判断C选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为， 故的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以，C错； 对于D选项，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则，该函数为奇函数，D对. 故选：AD. 10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，对任意的非零实数和，则 B. 若，，则向量，的夹角为钝角 C. 若，，且和的夹角为，则 D. 若点在同一平面内，且，则三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件即可判断；对于B，根据向量数量积的坐标计算即可判断；对于C，根据向量数量积的定义和运算律计算即可排除；对于D，利用平面向量基本定理即可推得. 【详解】对于A，因，则，故，即A正确； 对于B，由，且与不共线， 则向量，的夹角为钝角，故B正确； 对于C，因， 则，故C错误； 对于D，由，可得， ，即与共线，故三点共线，即D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】取中点为F，连接EF，则为异面直线与所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可得答案. 【详解】如图取中点为F，连接EF，易得， 则，则为异面直线与所成角或其补角. 因平面，几何体为四棱柱，. 则，，. ，，. 因，，则，又易得， 则. 从而. 故答案为： 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】设，将分别用的三角函数式表示，求出的面积表达式，根据三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的值域即可求得面积最小值. 【详解】设，则 ，， 在中，，在中，， 故的面积为 . 因，则，则当，即时，取得最大值1， 此时的面积取得最小值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解. （2）求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由是纯虚数，得，解得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，，， 由，整理得，解得或， 所以或. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角基本关系式算出，再由正弦定理求出，再解出； （2）法一：由余弦定理解得，再用正弦面积公式求解.法二：先用两角和与差公式计算，再用正弦面积公式求解. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 根据正弦定理得，即. 所以. 又由题知为钝角，故，所以. 【小问2详解】 法一：由余弦定理，得. 即，整理得. 解得或（舍去）. 故的面积. 法二：由，得. 所以. 故的面积 17. 如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接. （1）试用和表示； （2）若，，. ①求； ②求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理得到，结合，，从而得到； （2）①由题知，由（1）知，，然后根据数量积运算性质结合条件即得； ②，在（1）基础上，利用向量数量积运算律计算出和，利用向量夹角余弦公式进行计算即可. 【小问1详解】 在四边形中，. 在四边形中，. 又因为，分别是，的中点，所以，. 所以，即， 又因为，，所以，. 所以. 【小问2详解】 ①由题知. 又由（1）知，. 因此. 所以. ②因为. 所以. ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，. （1）求证：平面； （2）若，. ①证明：； ②求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，进而可得，又，所以可证平面； （2）①不妨设，在中，由余弦定理得，在和中，用勾股定理可分别求得，，问题得证； ②过作交于，连接，可得即为二面角的平面角，再分别求出、、，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 设与相交于点，连接，如图所示， 因为，，， 所以. 所以. 又在中，是的中点，所以. 在正方形中，. 又因为平面，平面，且. 所以平面. 【小问2详解】 ①在中，，. 不妨设，则. 由余弦定理得，所以. 又在中，，， 故由勾股定理，得. 又在中，，， 所以，所以. 故在中，可得 所以. ②由①知，. 过作交于，连接，由得. 所以即为二面角的平面角， 在中，因为，，所以. 所以. 所以，在直角中，. 同理可得， 又. 在中，. 故二面角的余弦值为. 19. 若平面内的数轴，相交所成角为，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则有序数对（用斜括号表示有序数对）叫做向量的“半斜坐标”.已知在半斜坐标系内的，点在所在的直线上，且，. （1）求； （2）若，且（其中），. ①求向量与的夹角； ②当取得最小值时，求向量的半斜坐标. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解； （2）方法一：①根据和，可以求出的值，再结合数量积的运算求向量的夹角； ②设，结合取得最小值和三点共线，可求的值，即得向量的半斜坐标. 方法二：①结合，可求，再结合向量夹角的求法，可得所求向量的夹角； ②先得到，根据和，可得，也就得到的半斜坐标，再设，用表示和，进而表示出，根据二次函数的最值，求出的值，就得到的半斜坐标. 【小问1详解】 首先. 由，，则，. 又， 则 所以. 【小问2详解】 ①由，则，所以. 即， ， ， 又，联立解得或（舍），. 所以，则， ， 所以向量与的夹角为. ②设，，， 则，， 所以， （*）. 因为，，三点共线，则存在实数，使得， 即，所以， 代入（*）式子可得， 当时有最小值，此时. 所以向量的半斜坐标为. 另解： （2）①由，，，则，， ， ， ， 则，所以向量与的夹角为. ②因为，向量与的夹角为，则. 所以，又， 则，，即. 设，则， ， ， ， 所以 ， 即当时，取得最小值，此时 ， 所以向量的半斜坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $