精品解析：湖南省益阳市梓山湖学校2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024年下学期梓山湖学校期中检测题八年级数学（问卷） 试卷总分：120分；考试时间：120分钟； 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【详解】解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6， ∴不构成三角形，舍去． ②若3是底，则腰是6，6． 3+6＞6，符合条件．成立． ∴C=3+6+6=15． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 3. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 【解析】 【分析】将分子与分母中未知数分别乘以3，进而化简即可． 【详解】， 故分式的值缩小3倍． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，将未知数扩大3倍后再化简分式是解题关键． 4. 如图，图形中为（ ） A. 120° B. 360° C. 150° D. 180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 【详解】解：连接， 则， ∴， 故选D． 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°． ∵△CDB′由△CDB折叠而成， ∴∠CB′D=∠B=65°． ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D． 6. 选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立． 【详解】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，． 故选：D． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 判断命题的真假需要证明 B. 举反例是一种证明的方法 C. 证明假命题举一个反例即可 D. 证明真命题举一个成立的例子即可 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查命题的真假判断及证明方法，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握命题相关知识点是解此题的关键． 【分析】解：A、判断命题的真假需要证明：无论是真命题还是假命题，均需通过逻辑推理或举反例进行验证，而举反例本身属于证明方法的一种，故原说法正确，不符合题意； B、举反例是一种证明的方法：举反例是证明命题为假的常用方法，属于反证法的一种形式，故原说法正确，不符合题意； C、证明假命题举一个反例即可：若命题为假，存在至少一个反例，举出即可证明其不成立，故原说法正确，不符合题意； D、证明真命题举一个成立的例子即可：真命题需满足所有情况均成立，仅举一个特例无法保证普遍性，例如，命题“所有偶数都是4的倍数”中，4和8符合条件，但2不符合，说明单举例子不能证明命题为真，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义； 当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义； 无论a取何值时，a2+1≠0， 故选D． 9. 如果方程产生增根，那么的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出增根，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解： 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选B． 10. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，找出等量关系列出方程是解题的关键． 设原来参加游览的人数有x人，根据“每个成员比原来少摊了3元钱车费”即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的人数有x人，根据题意，得 ． 故选：D 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危 害.2.5μm 用科学记数法可表示为_____． 【答案】2.5×10-6 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：2.5×0.000001=2.5×10-6， 故答案为2.5×10-6． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解． 12. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 13. 下列分式，，通分的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：三分式中的常数项系数的最小公倍数是20，a的最高次幂是1，b的最高次幂是2，c的最高次幂是3， 三分式的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂，掌握最简公分母的求法以及定义是解题的关键． 14. 已知，则的值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算，熟记各运算法则是解题关键． 15. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可完成解答． 【详解】由于三角形具有稳定性，所以这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一特性是关键． 16. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，以及有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．根据旋转性质得到，结合判断的形状，求出长度，再用减去得到． 【详解】解：∵ 绕点旋转得到，点对应点 ∴ 又∵ ∴ 是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： ． 17. 如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，则只需要即可用“”证明，据此求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】， 18. 如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积进行求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 三、解答题（共3小题，满分18分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的运算，乘方运算以及分式的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则、乘方运算规则和分式的通分、约分等运算法则是解题的关键． (1)本题涉及零指数幂、负整数指数幂以及乘方的运算．需要根据相应运算法则分别计算各项，再进行求和． (2)此题为分式的混合运算，先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分化简． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值． 【答案】，当x=1时，原式=． 【解析】 【分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到，可通分得，代x值时，根据分式和除式有意义的条件，必须使分母或被除式不为0，故只能取x=1． 【详解】解：原式=． 当x=1时，原式=． 四、解答题（共3小题，满分24分） 22. 尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【答案】 所求的 点如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法（以两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧找交点作直线 ）和性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ）是解题的关键．要找直线 上使 的点 ，根据垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以作 的垂直平分线与直线 的交点即为 ． 【详解】解：分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧（这样两弧能相交，保证作出垂直平分线 ），两弧分别相交于两点． 过这两个交点作直线（此直线为 的垂直平分线，依据是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），该直线与直线 的交点即为所求的 点． ∵ 所作直线是 的垂直平分线， 在该直线上 ∴ ． 23. 如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】 证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 【详解】略 24. 柑桔是益阳市（沅江市）的特色时令水果．柑桔一上市，某水果店老板用元购进一批柑桔，很快售完；老板又用元购进第二批柑桔，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． （1）第一批柑桔每件进价多少元？ （2）老板以每件元的价格销售第二批柑桔，售出后，为了尽快售完，决定打折促销．要使第二批柑桔的销售利润不少于元，剩余柑桔每件售价至少打几折？ 【答案】（1）第一批柑桔每件进价是元； （2）剩余柑桔每件售价至少打折． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． （）设第一批柑桔每件进价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设剩余柑桔每件售价打折，根据题意得，然后解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批柑桔每件进价是元， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：第一批柑桔每件进价是元； 【小问2详解】 解：设剩余柑桔每件售价打折， 根据题意得，， 解得：， 答：剩余柑桔每件售价至少打折． 五．解答题（本题12分） 25. ，，，，… （1）请观察上面式子的规律，你猜测出的结论是什么？（用含n的式子表示，n是正整数） （2）请对（1）中你得到的结论予以验证． （3）计算：（x为正整数）． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据分母的变化规律列代数式即可； （2）根据异分母分式的加减运算规则计算求值即可； （3）根据结论（1），将变形为，再正负抵消求值即可； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：原式 ； 【点睛】本题考查了数字的变化规律，异分母分式的加减运算；根据变形求值是解题关键． 六．解答题（本题12分） 26. 在直角三角形中，，直线l过点C． （1）当时， ①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：； ②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接交直线l于E，连接．求证：． （2）当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接、．点M从A点出发，以每秒1 cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）或5或6.5 【解析】 【分析】（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得， 由（1）可得，， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期梓山湖学校期中检测题八年级数学（问卷） 试卷总分：120分；考试时间：120分钟； 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 3. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 4. 如图，图形中为（ ） A. 120° B. 360° C. 150° D. 180° 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6. 选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列说法错误的是（ ） A. 判断命题的真假需要证明 B. 举反例是一种证明的方法 C. 证明假命题举一个反例即可 D. 证明真命题举一个成立的例子即可 8. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 9. 如果方程产生增根，那么的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 10. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危 害.2.5μm 用科学记数法可表示为_____． 12. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 13. 下列分式，，通分的最简公分母是______． 14. 已知，则的值是____________. 15. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 16. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______． 17. 如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是______． 18. 如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（共3小题，满分18分） 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值． 四、解答题（共3小题，满分24分） 22. 尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 23. 如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 24. 柑桔是益阳市（沅江市）的特色时令水果．柑桔一上市，某水果店老板用元购进一批柑桔，很快售完；老板又用元购进第二批柑桔，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． （1）第一批柑桔每件进价多少元？ （2）老板以每件元的价格销售第二批柑桔，售出后，为了尽快售完，决定打折促销．要使第二批柑桔的销售利润不少于元，剩余柑桔每件售价至少打几折？ 五．解答题（本题12分） 25. ，，，，… （1）请观察上面式子的规律，你猜测出的结论是什么？（用含n的式子表示，n是正整数） （2）请对（1）中你得到的结论予以验证． （3）计算：（x为正整数）． 六．解答题（本题12分） 26. 在直角三角形中，，直线l过点C． （1）当时， ①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：； ②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接交直线l于E，连接．求证：． （2）当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接、．点M从A点出发，以每秒1 cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $