第22章二次函数第20课时二次函数与斜三角形面积问题 暑假预习课讲义-2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第20课时二次函数与斜三角形面积问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 铅锤法求斜三角形面积公式：S=水平宽×铅锤高÷2 转化思想：横平竖直，改斜为正，化斜为直 概念理解重点： 过三角形的一个顶点作y轴的平行线（或x轴的垂线）与这个顶点对边（或延长线）相交，交点到这个点的距离（两个点纵坐标差的绝对值）叫做该斜三角形的铅锤高； 另外两个顶点的水平距离（两个点横坐标差的绝对值）叫做该斜三角形的水平宽。 S=（xC-xB）（yA-yD）÷2 S=（xC-xA）（yD-yB）÷2 S=（xA-xB）（yD-yC）÷2 类型一、斜三角形面积类 例题1.如图，已知顶点为的抛物线过点，交轴于，两点，交轴于点、点是抛物线上一动点． 求抛物线的解析式； 当点在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】解：根据题意设抛物线解析式为， 把点的坐标代入得， 解得， 抛物线解析式为， 如图，由已知抛物线过点交轴于，两点，交轴于点， 令，则， 解得，， ，的坐标为，， 令，则， 点的坐标为， ， 轴， 设经过两点的直线的解析式为， 把，的坐标代入得：， 解得， 所以直线的解析式为， 过点作轴的垂线，分别交，，轴于点，，，连结，， 点在抛物线上， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 此时点的坐标为．  【解析】根据题意设出抛物线解析式的顶点式，再把点坐标代入解析式求出的值； 先求出，，的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的垂线，分别交，，轴于点，，，连结，，设点的坐标为，则点的坐标为，然后求出，再由三角形的面积公式求出，然后由函数的性质求出面积的最大值，并求出此时点的坐标． 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值等知识，关键是用待定系数法求出函数解析式，由二次函数的性质解答． 类型二、分割后含斜三角形的四边形面积类 例题2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． 求抛物线对应的函数解析式． 是第二象限内抛物线上的动点，连接，，设点的横坐标为，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)当x＝0时，y＝4，∴C（0，4）．当y＝0时，，解得 x＝－3，∴A（－3，0）．∵对称轴为直线x＝－1，∴易得B（1，0）．∴可设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－1）（x＋3）．把C（0，4）代入，得4＝－3a，解得．∴抛物线对应的函数解析式为  (2)如图，过点D作DF⊥AB，交x轴于点F，交AC于点E．由题意，可得点D的坐标为（m，）（－3＜m＜0），∴易得点E的坐标为（m，）．∴．∴．∵，∴．∵－2＜0，－3＜m＜0，∴当时， S取得最大值，．当时，，∴点D的坐标为（，5）   一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，二次函数交轴于点、在的右侧，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，则面积的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．解方程得，再确定，则可求出直线的解析式为，作轴交于，如图，设，，于是得到，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】 解：当时，，则， 当时，，解得，，则， 易得直线的解析式为， 作轴交于，如图， 设，则， ， 面积， 当时，面积有最大值为． 故选：． 2.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，当的面积取最大值时，点的坐标为  ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数关系式为， 设直线的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的函数关系式为， 过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 设点的坐标为，则点坐标为，点的坐标为， ，，， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为 故选A． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积． 根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式，过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，设点的坐标为，则点坐标为，点的坐标为，进而可得出的值，由点的坐标可得出点的坐标，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，点在下方的抛物线上不与点，重合，连接，，设的面积为，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：抛物线的解析式为， 点， 点在轴上， ，代入解析式可得，， ， 轴， 点， 当点在顶点时，有最大值为． 故选：． 由解析式可得点、点的坐标，当最大时，点在处，求出此时的面积即可． 本题考查二次函数的图象性质，确定面积最大时点的位置是解题关键． 二、填空题： 4.如图，点在以为顶点的抛物线上，抛物线与正半轴交于点，点其中是抛物线上的动点，则面积的最大值为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和三角形面积公式． 先利用顶点式求出抛物线解析式为，即，再解方程得到，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于点，如图，设，则，利用可得到，然后根据一次函数的性质求解． 【解答】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为，即， 当时，，解得，，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得 直线的解析式为， 作轴交于点，如图， 设，则， 当时，面积有最大值，最大值为． 故答案为． 5.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为______． 【答案】  【解析】解：当时，， 解得， 点坐标为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 过点作轴的平行线交于点，如图， 设，则， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 先老油条一次函数解析式确定点坐标，再把点坐标代入中求出得到抛物线解析式为，过点作轴的平行线交于点，如图，设，则，所以，接着根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值． 6.如图，抛物线与直线相交于点、，点在线段上运动，过点平行于轴的直线交抛物线于点，则面积的最大值是______． 【答案】  【解析】解：设的长为，点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， 有最大值， 当时，， 面积的最大值是：， 故答案为：． 点在抛物线上，点在直线上的线段，由于轴，因此可以设出他们的横坐标，表示出他们的纵坐标，而线段的长就是两点纵坐标差的绝对值，从而得出关于一个长与自变量的函数关系式，根据函数的最值，求出最大值，进而利用三角形面积公式即可求得面积的最大值． 考查二次函数的图象和性质、函数的最值问题，通常先得出一个关于最值的二次函数的关系式，再依据二次函数的最大小的计算公式进行计算即可． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.如图，直线与抛物线交于点，点是线段上的点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为．           ，          ，          ，          ，          ；用含的代数式表示 连接，，求面积的最大值． 【答案】(1)m; -m+3;m;-m2+2m+3;-m2+3m   (2)．  当时，S△ABE最大，最大值为．  8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． 求该抛物线的解析式及对称轴； 直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值． 【答案】解：将，代入得： ， 解得， ， 则对称轴为直线； 当时，， 点， 点与点关于直线对称，且对称轴为直线， ， ， 设直线：， 则， 解得：， 直线的函数关系式为：， 设， 作轴交直线于，如图： ， ， 又， ， ， 当时，最大为． 面积的最大值是．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形的面积的性质，解题的关键是求出函数解析式． 直接代入点，坐标即可； 先求出直线的解析式，设出点坐标，作轴交直线于，通过铅垂高表示出的面积即可求出最大面积． 9.如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． 求该抛物线的解析式； 点为该抛物线上一动点与点，不重合，设点的横坐标为当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值． 【答案】解：把，代入得， 解得， 抛物线解析式为； 作轴交于，如图， 当时，，解得，，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 直线的解析式为， 设，则 ， ， 当时，有最大值，最大值为．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 利用待定系数法求抛物线解析式； 作轴交于，如图，解方程得，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题． 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求此抛物线的函数表达式及点的坐标； 已知点，在直线上方的抛物线上有一动点，求面积的最大值． 【答案】解：将点，代入得：，解得： 抛物线解析式为， 令，解得，， 点的坐标为； 直线经过点，点， ， 过点作轴交于，如图，设，则， ，  △DPQ= = ，   当时，的面积取最大值，最大值是．   【解析】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与轴的交点问题，三角形的面积，以及二次函数的最值． 将点，代入得：求出抛物线的函数表达式，然后令，求出点的坐标即可； 首先求出直线的解析式，然后过点作轴交于，如图，设，则，求出，再根据三角形的面积求出，即可求出面积的最大值． 11.如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． 求这个二次函数的解析式 点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值． 【答案】解：将，代入， 得解得 这个二次函数的解析式是． 当时，，点． 设直线的解析式为， 将，代入，得解得 所以直线的解析式为． 如图，过点作轴，交直线于点， 设，则， ， ， 当时，取得最大值． 故面积的最大值为．   【解析】本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质． 根据待定系数法，可得函数解析式； 根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 12.如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线 求此抛物线的解析式； 若点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)解：抛物线对称轴是直线且经过点 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点 设抛物线的解析式为 即： 把代入得： 抛物线的解析式为：   (2)设直线AB的解析式为，设的面积为S， ，， ， 解得， 直线AB为， 如图，作轴于Q，交直线AB于M， 设，则， ， 当时，，， 的面积的最大值为，此时点P的坐标为    【解析】  本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． 因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．   根据面积的和差，可得的面积函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 13.如图，已知抛物线经过，，三点． 求抛物线的解析式； 若点为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；  (2)如解图，连接BD，DC，BC，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E， 易得过点B，C的直线解析式为y＝x＋3， 设D（m，－m2－2m＋3），E（m，m＋3）， 则DE＝－m2－2m＋3－（m＋3）＝－m2－3m， ∴， ∴，∴当时，△ BCD的面积最大，最大值为；   14.如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接求： 求、、三点的坐标； 若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值． 【答案】解：由抛物线的解析式为，可得， 令，，解得或， ，； 设过、两点的一次函数解析式为，则有：， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为．  【解析】先求出的坐标，然后令，，求出点的坐标，即可求解； 设，则，用表示出，利用，进而写出关于的二次函数表达式，进而求解． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 15.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 【答案】解：，，， 设抛物线表达式为：， 将代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； 连接， 设点坐标为，， ，，， 可得：，，， ， 当时，最大，最大值为．  【解析】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． 设二次函数表达式为，再将点代入，求出值即可； 连接，设点坐标为，，利用得出关于的表达式，再求最值即可． 16.如图，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且，为抛物线上一动点，连接． 直接写出抛物线的解析式； 当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)解：y＝－x2－2x＋3；  (2)连接OP． 设点P（m，－m2－2m＋3）， S四边形PABC＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC， ， ∵， ∴当时， S的值最大，最大值为，此时点．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第20课时二次函数与斜三角形面积问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 铅锤法求斜三角形面积公式：S=水平宽×铅锤高÷2 转化思想：横平竖直，改斜为正，化斜为直 概念理解重点： 过三角形的一个顶点作y轴的平行线（或x轴的垂线）与这个顶点对边（或延长线）相交，交点到这个点的距离（两个点纵坐标差的绝对值）叫做该斜三角形的铅锤高； 另外两个顶点的水平距离（两个点横坐标差的绝对值）叫做该斜三角形的水平宽。 S=（xC-xB）（yA-yD）÷2 S=（xC-xA）（yD-yB）÷2 S=（xA-xB）（yD-yC）÷2 类型一、斜三角形面积类 例题1.如图，已知顶点为的抛物线过点，交轴于，两点，交轴于点、点是抛物线上一动点． 求抛物线的解析式； 当点在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 类型二、分割后含斜三角形的四边形面积类 例题2.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． 求抛物线对应的函数解析式． 是第二象限内抛物线上的动点，连接，，设点的横坐标为，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标． 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，二次函数交轴于点、在的右侧，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，则面积的最大值是(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，当的面积取最大值时，点的坐标为  ． A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，点在下方的抛物线上不与点，重合，连接，，设的面积为，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 4.如图，点在以为顶点的抛物线上，抛物线与正半轴交于点，点其中是抛物线上的动点，则面积的最大值为______． 5.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为______． 6.如图，抛物线与直线相交于点、，点在线段上运动，过点平行于轴的直线交抛物线于点，则面积的最大值是______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.如图，直线与抛物线交于点，点是线段上的点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为．           ，          ，          ，          ，          ；用含的代数式表示 连接，，求面积的最大值． 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． 求该抛物线的解析式及对称轴； 直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值． 9.如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． 求该抛物线的解析式； 点为该抛物线上一动点与点，不重合，设点的横坐标为当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值． 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求此抛物线的函数表达式及点的坐标； 已知点，在直线上方的抛物线上有一动点，求面积的最大值． 11.如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． 求这个二次函数的解析式 点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值． 12.如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线 求此抛物线的解析式； 若点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 13.如图，已知抛物线经过，，三点． 求抛物线的解析式； 若点为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；  14.如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接求： 求、、三点的坐标； 若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值． 15.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 16.如图，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且，为抛物线上一动点，连接． 直接写出抛物线的解析式； 当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$