精品解析：广东省湛江市廉江市实验学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题

廉江市实验学校2024—2025学年度第一学期期中考试试题 初二数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 命题人：冉思怡 审题人：张雪丽 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这里所用的几何原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这里所用的几何原理是：手机支架具有三角形的稳定性． 故选：D． 3. 已知：中，为三个内角，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和定理逐一对选项进行判定即可． 【详解】解：，， ， 是直角三角形，故A选项不符合题意； ， ， 是直角三角形，故B选项不符合题意； 由，不能判断是直角三角形，故C选项符合题意； ∵，， ， 是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 4. 点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（　　） A. （3，5） B. （3，﹣5） C. （5，﹣3） D. （﹣3，﹣5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，求解即可 【详解】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（3，5）， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于纵轴的对称的点的特征，掌握关于纵轴的对称的点的特征是解题的关键． 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】A、三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等，正确，不符合题意； B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意； D、一边长相等的两个等腰直角三角形全等，无法确定是直角边还是斜边，无法判定两个三角形全等，错误，符合题意． 故选：D． 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 7. 如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，利用证明，可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 8. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．对图形进行标注，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，最后计算即可得解． 【详解】解：对图形进行标注如下： 由图可得：，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】在和中， 同理可得： ，， 且 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是和矩形的面积相等． 10. 如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为______． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据三角板各内角的度数和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由一副三角板按如图所示叠放在一起可知， ∠2=45°，∠1=30°， ∴∠3=∠2-∠1=15°， ∴； 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是明确三角板各内角的度数，熟练运用外角的性质解题． 12. 如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，．然后即可得出答案． 【详解】解：解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 13. 如图，，，，点在线段上．若，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由，可得，结合题意可证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形中线性质，根据三角形的中线将三角形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵的三条中线，，交于点， ∴，，， ∴，，， ∵的面积是18， ∴， 故答案为：9． 15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为_____ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了与三角形的高有关的计算问题，直接根据公式代值进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：5 16. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可判断③；证明得出，，即可判断①②，根据即可判断④，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故③正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，故②正确， ∴，故①正确； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共9大题，17—20每题6分，21—23每题8分，24—25每题12分，共72分） 17. 已知：如图，． 求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴． ∴（全等三角形的对应角相等）． ∴（等角对等边）． ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等角对等边证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18. 如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到，求得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 19. 如图，已知两个滑梯和的倾斜角和互为余角即，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且，．小明说：“只要量出左侧滑梯水平方向的长度就可以知道右侧滑梯的高度了”，他的说法正确吗？请你说明理由． 【答案】 他的说法正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴他的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．证明，得出即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在A，B在两地有两家工厂，他们的同一侧有一条公路通过，现两家工厂协商要在公路旁（靠近A，B侧）修建个货运中心，便于货物的运输但是为了公平，修建的货运中心P到A，B两家工的距离必须相等 （1）请你运用所学的知识，利用尺规作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹） （2）若A，B两家工厂相距6千米，，则的距离为多少？ 【答案】（1） 如图所示． （2）距离6千米 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作图和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，交公路于点P，即可； （2）先证明是等边三角形，继而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是等边三角形， ，即之间的距离6千米． 21. 如图，在六边形中，的平分线与的平分线交于点P，． （1）求六边形的内角和； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及三角形内角和、角平分线的定义， （1）根据正多边形的内角和公式计算即可； （2）根据三角形内角和、角平分线的定义，得出，结合正多边形的内角和公式，代入化简得出，即可作答． 【小问1详解】 解：六边形的内角和； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． （1）若，求证：是的角平分线； （2）若是的角平分线，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即是的角平分线； （2） 证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （2）根据角平分线的性质得出，然后根据证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； 【小问2详解】 解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 24. 综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，已知与相交于点，，是的中点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，在（1）的条件下，过点，分别作，于点，，若． ①试判断与是否全等，并证明你的结论． ②当，时，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点A，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连接，，并且延长到点，使；延长到点，使，连接并延长到点，使点，，A在同一条直线上，若测量出米，则河流米，请说明理由． 【答案】（1）， 证明：∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）①， 证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴．. ②； （3）理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握各种判定方法，正确的找到3个对应条件是证明全等的关键． （1）根据证明即可． （2）①根据可得，又由，可得，根据即可证明． ②由题意可知，，又由，可得的长，从而可求出的长． （3）先根据证明，则可得，由此可得．再根据证明，由此可得米． 【详解】（1） 略 （2）解：① 略 ②由①得， ∵， ∴， ∴，即的长为． （3）解：理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴米． 25. 小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对课本一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图，，，，． （1）、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； （2）如图，连接，若、分别平分、，求的度数； （3）如图，连接、，过点作于点交于点，求证：点是的中点． 【答案】（1） ，． 证明：如图，设相交于点，相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 证明：如图，过点作的延长线于点，过点于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点是的中点． 【解析】 【分析】（）先证明，进而可证明，可得，，进而由得到，即得； （）由角平分线的定义可得，，由得，即得，进而可证明，得到，据此即可求解； （）如图，过点作的延长线于点，过点于点，同理（）可证明，，得到，，即得，进而可证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 26. 如图，在四边形ABCD中，，，，．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值为 ． （2）当时，求t的值； （3）在点P，Q运动过程中，若四边形BPDQ能够成为菱形，求AD的长． 【答案】（1） （2）4或 （3） 【解析】 【分析】（1）四边形APQD为矩形，则，则，即可求解； （2）作QN⊥AB于点N，作BH⊥CO于点H，而，求出和，而,即可求解； （3）由菱形的性质可，求出此时t值，由勾股定理可求解； 【小问1详解】 ∵ ， ∴， 由题意得，， ∴； ∵四边形APQD为矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，作QN⊥AB于点N，作BH⊥CO于点H， 则四边形BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； 【小问3详解】 四边形PBQD是菱形， ∴， 即 ∴ ∴ ∴cm． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江市实验学校2024—2025学年度第一学期期中考试试题 初二数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 命题人：冉思怡 审题人：张雪丽 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这里所用的几何原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 3. 已知：中，为三个内角，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（　　） A. （3，5） B. （3，﹣5） C. （5，﹣3） D. （﹣3，﹣5） 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等 B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 7. 如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 8. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则（　　） A. B. C. D. 9. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 10. 如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为______． 12. 如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为________． 13. 如图，，，，点在线段上．若，，则________． 14. 如图，的三条中线，，交于点．若的面积是18，则阴影部分的面积是________． 15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为_____ 16. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_____（填序号）． 三、解答题（本大题共9大题，17—20每题6分，21—23每题8分，24—25每题12分，共72分） 17. 已知：如图，． 求证：是等腰三角形． 18. 如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 19. 如图，已知两个滑梯和的倾斜角和互为余角即，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且，．小明说：“只要量出左侧滑梯水平方向的长度就可以知道右侧滑梯的高度了”，他的说法正确吗？请你说明理由． 20. 如图，在A，B在两地有两家工厂，他们的同一侧有一条公路通过，现两家工厂协商要在公路旁（靠近A，B侧）修建个货运中心，便于货物的运输但是为了公平，修建的货运中心P到A，B两家工的距离必须相等 （1）请你运用所学的知识，利用尺规作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹） （2）若A，B两家工厂相距6千米，，则的距离为多少？ 21. 如图，在六边形中，的平分线与的平分线交于点P，． （1）求六边形的内角和； （2）求的度数． 22. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． （1）若，求证：是的角平分线； （2）若是的角平分线，求证：． 23. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 24. 综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，已知与相交于点，，是的中点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，在（1）的条件下，过点，分别作，于点，，若． ①试判断与是否全等，并证明你的结论． ②当，时，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点A，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连接，，并且延长到点，使；延长到点，使，连接并延长到点，使点，，A在同一条直线上，若测量出米，则河流米，请说明理由． 25. 小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对课本一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图，，，，． （1）、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； （2）如图，连接，若、分别平分、，求的度数； （3）如图，连接、，过点作于点交于点，求证：点是的中点． 26. 如图，在四边形ABCD中，，，，．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值为 ． （2）当时，求t的值； （3）在点P，Q运动过程中，若四边形BPDQ能够成为菱形，求AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $