13.2.2三角形的中线、角平分线、高课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1 定义 图示 线段中点 角平分线 垂线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 知识链接 情境创设 如图，在△ABC 中，橡皮筋的一端固定在顶点 A，另一端点D沿CB边移动，橡皮筋在运动过程中，观察点D或线段AD有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ ① 经过BC中点——中线 ② 垂直于BC——高 ③平分∠BAC——角平分线 3 新知探究 三角形的中线 知识点 1 问题一：如图，当点D移动到BC边的中点时，线段AD叫作△ABC的中线，试着用语言去描述什么叫作三角形的中线？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做作三角形这条边上的中线．例如线段AD叫作△ABC的BC边上的中线. 几何语言： ∴ BD = CD = BC. ∵AD 是△ABC 的中点， 反之∵BD＝CD (或 BD＝ BC，CD＝ BC )， ∴ AD 是△ABC 的中点. 4 新知探究 三角形的中线 知识点 1 思考： 1.锐角△ABC中还有其他中线吗？ 锐角△ABC共有几条中线？这些中线有什么位置关系？ 2.画出一个直角三角形和一个钝角三角形，并画出它们所有中线。从三角形的中线数量和位置关系，你发现了什么？ 三角形有3条中线，3条中线相交于三角形内部的一点，这一点叫作三角形的重心。  5 三角形的中线 知识点 1 知识链接 一块质地均匀的三角形木板，吊起三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. 新知探究 6 新知探究 三角形的中线 知识点 1 教材P8练习 第2题 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 BD = ____，AE = ____， AB = 2____； A B C D F E CD AC AF BC 2BF 7 新知探究 三角形的中线 知识点 1 三角形中线的应用 1.面积关系： 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，求证：S△ABD=S△ACD. 证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E ∵点D是BC的中点 ∴BD=CD 根据三角形面积公式，得： S△ABD＝BD·AE S△ACD＝CD·AE ∴S△ABD=S△ACD 归纳：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. E 8 新知探究 三角形的中线 知识点 1 2.周长关系： 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，则= . 归纳：三角形的中线所分成的两个三角形的周长之差的绝对值等于原三角形中该中线所连接顶点两相邻两边长度之差的绝对值. 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∴= =. 三角形中线的应用 9 新知探究 三角形的角平分线 知识点 2 问题二：在纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 方法一：用量角器画 方法二：把三角形剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. A B C D 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. 10 新知探究 三角形的角平分线 知识点 2 概念：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 如图，画∠ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC的角平分线. A B C 1 2 D 几何语言： ∴∠1 = ∠2 = ∠BAC. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD 是△ABC 的角平分线. 反之∵∠1 = ∠2 = ∠BAC 11 新知探究 三角形的角平分线 知识点 2 思考： 1.锐角△ABC中有几条对角线？请你全部画出来.这些对角线具有什么位置关系？ 2.画出一个直角三角形和一个钝角三角形，并画出它们所有角平分线。从三角形的角平分线数量和位置关系，你发现了什么？ 三角形有3条角平分线，3条角平分线相交于三角形内部的一点，这一点叫作三角形的内心。  12 新知探究 三角形的角平分线 知识点 2 思考： 3.三角形的角平分线与角的平分线有区别吗？ 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C D 1 2 13 新知探究 三角形的角平分线 知识点 2 1. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则∠1 = _______，∠3 = _______，∠ACB = 2_______. ∠2 ∠ABC ∠4 ∠BAC 2∠ACF 14 新知探究 三角形的高 知识点 3 问题三：要求三角形的面积得知道三角形的高，那什么叫作三角形的高？你知道怎么画三角形的高吗？ 概念：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边BC 上的高. ∵AD 是△ABC 的高， 反之， ∴AD⊥BC(∠BDA=90°). ∵AD⊥BC(∠BDA=90°)， ∴AD 是△ABC 的高. 几何语言： 15 新知探究 三角形的高 知识点 3 活动：请你画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的所有高，并思考下列问题. 思考： 1.锐角三角形有几条高？这些高具有什么位置关系？ O A B C D E F 锐角三角形有3条高，3条高在锐角三角形内部； 3条高交于同一点，这一点在锐角三角形内部. 16 新知探究 三角形的高 知识点 3 思考： 2.直角三角形有几条高？这些高具有什么位置关系？ A B C D 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . 斜边 AC 上的高是 ； AB BC BD 直角三角形有3条高，1条高在直角三角形内部，另外两条高是直角三角形的两直角边；3条高交于同一点，这一点是直角三角形的直角顶点. 17 新知探究 三角形的高 知识点 3 思考： 3.钝角三角形有几条高？这些高具有什么位置关系？ A B C D F O E AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD 钝角三角形有3条高，1条高在钝角三角形内部，另外两条高在钝角三角形外部；3条高所在的直线交于同一点，这一点在钝角三角形的外部. 18 新知探究 三角形的高 知识点 3 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 高的数量 高的位置 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 3 1 1 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高线相交于一点(三角形的垂心 ). 归纳总结：三角形的三条高的特性： 3条高在锐角三角形内部 1条高在直角三角形内部，另外2条高是直角三角形的两直角边 1条高在钝角三角形内部，另外两条高在钝角三角形外部 19 新知探究 三角形的高 知识点 3 练习：作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) D 20 巩固练习 1.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ） A.直线 B.射线 C.线段 D.射线或线段 C 21 巩固练习 2.（教材P8练习第1题）如图，过△ABC 的顶点 C，分别画出它的中线、角平分线和高. A B C D E F 解：如图，AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高. 22 巩固练习 3.如图,D，E分别是△ABC 的边 BC，AC 的中点.若△ABE 的面积是4，则△ADC的面积是 . 4.已知△ABC，AD是BC边上的中线，且AC=5，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB的长为 . 4 11 23 巩固练习 5.如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是 . 6.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为 ． 小结：如图，利用三角形的面积公式，始终有： 即BC·AD＝AC·BE＝AB·CF BC·AD＝AC·BE＝AB·CF 24 巩固练习 7. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？ 解：∠1 = ∠2. 理由： ∵ DE // AC，∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB. 又 AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC =∠DAB. ∴∠1 =∠2. 25 课堂小结 今天你有什么收获？ 26 This Is A Sample Text. Insert Your Desired Text Here. 感谢观看 27 $$