9.4矩形、菱形、正方形---矩形专题 基础辅导材料2024-2025学年苏科版数学八年级下册

八下数学基础辅导讲义 第6课时：矩形— 矩形的性质（1） 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 1.矩形的“边”的性质：矩形的对边___________且__________； 2.矩形的“角”的性质：矩形的四个角都______________； 用符号语言表述：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴_____________，____________， ___________________________. 【例题解析】 例1 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED. 判断△BEC的形状，并证明. 例2 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE． （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【巩固练习】 1. 如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点． 求证：∠MAB=∠MBA． 2. 已知：如图，P是矩形ABCD内的点，PA=PB. 求证：PC=PD. 3. 如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG，垂足为E，且DE=DC． （1）求证：DE=AB； （2）求证：△ABF≌△DEA 【主要知识】 矩形的“边”的性质：矩形的对边平行且相等。 矩形的“角”的性质：矩形的四个角都等于90°（直角）。 符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，∠D=90° 【例题解析】 例1：△BEC是等腰三角形。 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC，∠ADC=90°， ∴ ∠DEC=∠ECB（两直线平行，内错角相等）。 ∵ EC平分∠BED， ∴ ∠DEC=∠BEC， ∴ ∠BEC=∠ECB， ∴ BE=BC（等角对等边）， ∴ △BEC是等腰三角形。 例2： （1）证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°。 ∵ E、F分别是AB、CD的中点， ∴ BE=DF。 ∴ △BEC≌△DFA（SAS）。 （2）证明： 由（1）得△BEC≌△DFA， ∴ CE=AF。 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB∥CD，AB=CD。 ∵ E、F分别是AB、CD的中点， ∴ AE=CF， ∴ 四边形AECF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 【巩固练习】 1. 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD=BC，∠ADM=∠BCM=90°，AB∥CD。 ∵ M是CD的中点， ∴ DM=CM。 ∴ △ADM≌△BCM（SAS）， ∴ AM=BM， ∴ ∠MAB=∠MBA（等边对等角）。 2. 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB=∠CBA=90°，AD=BC。 ∵ PA=PB， ∴ ∠PAB=∠PBA， ∴ ∠DAB-∠PAB=∠CBA-∠PBA， 即∠PAD=∠PBC。 在△PAD和△PBC中， ∴ △PAD≌△PBC（SAS）， ∴ PC=PD。 3. （1）证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB=CD。 ∵ DE=DC， ∴ DE=AB。 （2）证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，AD∥BC， ∴ ∠DAE=∠AFB（两直线平行，内错角相等）。 ∵ DE⊥AG， ∴ ∠AED=90°=∠B。 ∴ △ABF≌△DEA（AAS）。 学科网（北京）股份有限公司 $$八下数学基础辅导讲义 第7课时：矩形— 矩形的性质（2） 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 矩形的“对角线”的性质：矩形的对角线___________且___________. 用符号语言表述：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴_________________， _________________， _________________. 【例题解析】 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE∥AC，CE∥DB． 试判断四边形OBEC的形状并说明理由． 例2 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E. 求证：AC=ED 【巩固练习】 1. 如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，AC=12cm，试求矩形ABCD周长和面积． 2. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE=CF. 3. 已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在OA、OD上，且OE=OA，OF=OD．求证：BE=CF． 第7课时：矩形—矩形的性质（2）参考答案 【主要知识】 矩形的对角线 相等 且 互相平分。 用符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD，OA=OC=OB=OD（对角线互相平分且相等），∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）。 【例题解析】 例1 结论：四边形OBEC是菱形。 理由： ∵ BE∥AC，CE∥DB（已知）， ∴ 四边形OBEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD（矩形对角线相等），且OA=OC=OB=OD（矩形对角线互相平分）， ∴ OB=OC（等量代换）， ∴ 平行四边形OBEC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。 例2 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB∥CD，AB=CD（矩形对边平行且相等），AC=BD（矩形对角线相等）。 ∵ CE∥DB（已知）， ∴ 四边形BECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴ ED=BD（平行四边形对边相等）， ∴ AC=ED（等量代换）。 【巩固练习】 1. 矩形ABCD周长和面积 解： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC=12cm， ∴ OA=OC=OB=OD=6cm（矩形对角线互相平分且相等），∠ABC=90°（矩形四个角为直角）。 ∵ ∠AOB=60°，OA=OB， ∴ △AOB是等边三角形， ∴ AB=OA=6cm。 在Rt△ABC中，BC=√(AC²-AB²)=√(12²-6²)=√108=6√3 cm， ∴ 矩形周长=2×(AB+BC)=2×(6+6√3)=12+12√3 cm， 面积=AB×BC=6×6√3=36√3 cm²。 2. 求证：BE=CF 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OB=OC（矩形对角线互相平分且相等）。 ∵ BE⊥AC，CF⊥BD， ∴ ∠BEO=∠CFO=90°。 在△BOE和△COF中： ∠BEO=∠CFO（已证）， ∠BOE=∠COF（对顶角相等）， OB=OC（已证）， ∴ △BOE≌△COF（AAS）， ∴ BE=CF（全等三角形对应边相等）。 3. 求证：BE=CF 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OA=OC=OB=OD（矩形对角线互相平分且相等），∠BAO=∠CDO（矩形对边平行，内错角相等）。 设OA=OD=3k（设参数方便计算）， ∵ OE=1/3 OA，OF=1/3 OD， ∴ OE=k，OF=k， ∴ AE=OA-OE=2k，DF=OD-OF=2k， ∴ AE=DF。 在△ABE和△DCF中： AB=DC（矩形对边相等）， ∠BAE=∠CDF（已证）， AE=DF（已证）， ∴ △ABE≌△DCF（SAS）， ∴ BE=CF（全等三角形对应边相等）。 学科网（北京）股份有限公司 $$八下数学基础辅导讲义 第8课时：矩形— 矩形的判定（1） 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 矩形的判定1：_______________________的平行四边形是矩形. 用符号语言表述：在□ABCD中， ∵ _________________ ∴□ABCD是矩形 【例题解析】 例1已知：如图，在□ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC． 求证：□ABCD是矩形． ( A B C D E F G H M N )例2 已知：如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点G、H，MG、NG分别平分∠AGH、∠BGH，MH、NH分别平分∠CHG、∠DHG． 求证：四边形AMHN是矩形． 【巩固练习】 1．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E， （1）求证：AE=CD； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由． 2．已知：如图，在□ABCD中，E，F为BC边上两点，且BE=CF，AF=DE 求证：□四边形ABCD是矩形． 3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，过A点作AE∥BC，且AE=BD，连结CE． 求证：四边形ADCE是矩形． 矩形的判定（1）参考答案 【主要知识】 矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：在□ABCD中， ∵ ∠A=90°（或∠B=90°/∠C=90°/∠D=90°） ∴ □ABCD是矩形 【例题解析】 例1 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC，∠A+∠B=180°。 ∵ O是AB中点，∴ AO=BO。 在△AOD和△BOC中， ∵ AO=BO，∠AOD=∠BOC，AD=BC， ∴ △AOD≌△BOC（SAS）， ∴ ∠A=∠B。 又∵ ∠A+∠B=180°， ∴ ∠A=∠B=90°， ∴ □ABCD是矩形。 例2 证明： ∵ AB∥CD， ∴ ∠AGH+∠CHG=180°，∠BGH+∠DHG=180°。 ∵ MG平分∠AGH，MH平分∠CHG， ∴ ∠MGH=1/2∠AGH，∠MHG=1/2∠CHG， ∴ ∠MGH+∠MHG=1/2（∠AGH+∠CHG）=90°， ∴ ∠GMH=90°。 同理可证∠GNH=90°，∠MGN=90°， ∴ 四边形AMHN的四个角均为直角， ∴ 四边形AMHN是矩形。 【巩固练习】 1.（1）证明： ∵ AE∥BC，BE∥AD， ∴ 四边形ADBE是平行四边形， ∴ AE=BD。 ∵ AD是△ABC的中线， ∴ BD=CD， ∴ AE=CD。 （2）当△ABC满足AB=AC时，四边形ADBE是矩形。 理由： ∵ AB=AC，AD是中线， ∴ AD⊥BC（三线合一）， ∴ ∠ADB=90°。 ∵ 四边形ADBE是平行四边形， ∴ 四边形ADBE是矩形。 2. 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD， ∴ ∠B=∠C。 ∵ BE=CF， ∴ BF=BE+EF=CF+EF=CE。 在△ABF和△DCE中， ∵ AB=CD，∠B=∠C，BF=CE， ∴ △ABF≌△DCE（SAS）， ∴ ∠AFB=∠DEC， ∴ AF∥DE。 又∵ AF=DE， ∴ 四边形AFDE是平行四边形。 ∵ ∠AFB+∠AFC=180°，∠DEC+∠DEB=180°， 且∠AFB=∠DEC， ∴ ∠AFC=∠DEB。 ∵ AD∥BC， ∴ ∠DAF=∠AFC，∠ADE=∠DEB， ∴ ∠DAF=∠ADE。 ∵ AF∥DE， ∴ ∠DAF+∠ADE=180°， ∴ ∠DAF=∠ADE=90°， ∴ □ABCD是矩形。 3. 证明： ∵ AB=AC，D是BC中点， ∴ AD⊥BC（三线合一），BD=CD， ∴ ∠ADC=90°。 ∵ AE∥BC，AE=BD， ∴ AE=CD，且AE∥CD， ∴ 四边形ADCE是平行四边形。 ∵ ∠ADC=90°， ∴ 四边形ADCE是矩形。 学科网（北京）股份有限公司 $$八下数学基础辅导讲义 第9课时：矩形— 矩形的判定（2） 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 矩形的判定2：_______________________的四边形是矩形. 用符号语言表述：在四边形ABCD中， ∵ _________________ ∴四边形ABCD是矩形 矩形的判定3：_______________________的平行四边形是矩形. 用符号语言表述：在□ABCD中， ∵ _________________ ∴□ABCD是矩形 【例题解析】 例1 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H， 求证：□ABCD是矩形． 例2 已知：如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点． 求证：四边形ABCD是矩形． 【巩固练习】 1． 已知：如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形． 求证：□ABCD是矩形； 2．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N 分别为AD、BC的中点． 求证：四边形BMDN是矩形． 3． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，ED∥AC． 求证：四边形ADBE为矩形． 矩形的判定定理及符号语言表述 【主要知识】 矩形的判定2： 有三个角是直角的四边形是矩形。 符号语言：在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 矩形的判定3： 对角线相等的平行四边形是矩形。 符号语言：在□ABCD中， ∵ AC=BD ∴ □ABCD是矩形 【例题解析】 例1 证明 已知：□ABCD的四个内角平分线交于点E、F、G、H。 求证：四边形EFGH是矩形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°（平行四边形邻角互补）。 ∵ BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， ∴ ∠GBC + ∠GCB = 1/2(∠ABC + ∠BCD) = 90°， ∴ ∠BGC = 90°（三角形内角和定理）。 同理可证∠AFB=∠AED=∠DHC=90°， ∴ 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 例2 证明 已知：∠AEC=∠BED=90°，O是AC、BD的中点。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明： 连接EO。 ∵ O是AC中点，∠AEC=90°， ∴ EO=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。 同理，EO=1/2BD， ∴ AC=BD。 ∵ O是AC、BD中点， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 ∵ AC=BD， ∴ □ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 【巩固练习】 1. 证明 已知：□ABCD的对角线交于点O，△AOB是等边三角形。 求证：□ABCD是矩形。 证明： ∵ △AOB是等边三角形， ∴ OA=OB。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AC=2OA，BD=2OB（平行四边形对角线互相平分）， ∴ AC=BD， ∴ □ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 2. 证明 已知：四边形ABCD由全等正三角形ABD和BCD组成，M、N是AD、BC中点。 求证：四边形BMDN是矩形。 证明： ∵ △ABD和△BCD是全等正三角形， ∴ AD=AB=BD=BC，∠ADB=∠CBD=60°。 ∵ M是AD中点，N是BC中点， ∴ MD=1/2AD，BN=1/2BC， ∴ MD=BN，且MD∥BN（∠ADB=∠CBD，内错角相等）， ∴ 四边形BMDN是平行四边形。 连接MN，易证MN⊥BD（正三角形三线合一）， ∴ ∠BMD=90°， ∴ □BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 3. 证明 已知：AB=AC，D是BC中点，AE∥BC，ED∥AC。 求证：四边形ADBE是矩形。 证明： ∵ AE∥BC，ED∥AC， ∴ 四边形AEDC是平行四边形（两组对边分别平行）， ∴ AE=DC，ED=AC。 ∵ AB=AC，D是BC中点， ∴ ED=AB，BD=DC=AE， ∴ AE=BD，且AE∥BD， ∴ 四边形ADBE是平行四边形（一组对边平行且相等）。 ∵ AB=AC，D是BC中点， ∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴ ∠ADB=90°， ∴ □ADBE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 学科网（北京）股份有限公司 $$