9.4矩形、菱形、正方形：菱形专题 2024-2025学年苏科版 八年级数学下册

八下数学基础辅导讲义 第12课时：菱形（3）— 菱形的判定 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 1、菱形的判定：【3种】 （1）从边看：① ； ② ； （2）从角看：× （3）从对角线看：③ ． 用符号语言表述： 1 ∵ ， ∴ 四边形ABCD是菱形． （ ） 2 ∵ AB=BC， ， ∴ 四边形ABCD是菱形．（ ） 3 ∵ ，四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是菱形．（ ） 【例题解析】 例1 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心， 大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ．请给出证明． 例2 如图，DE∥AC，DF∥AB，AD是△ABC的角平分线， 求证：四边形AEDF是菱形． 【巩固练习】 1、如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是怎样的特殊四边形？并证明． 2、已知：如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，过点E作AD的平行线EF交AB于点F． 求证：四边形ADEF是菱形． 菱形的判定及答案解析 【主要知识】菱形的判定（3种） 从边看 ① 四条边都相等的四边形是菱形； ② 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 从对角线看 ③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【符号语言表述】 ① ∵ AB=BC=CD=DA， ∴ 四边形ABCD是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） ② ∵ AB=BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） ③ ∵ AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 【例题解析】 例1：四边形ADBC是菱形． 证明： ∵ CD是AB的垂直平分线， ∴ AC=BC，AD=BD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． 又∵ 分别以A、B为圆心，大于1/2AB的长为半径画弧交于C、D， ∴ AC=AD，BC=BD（等半径画弧，半径相等）． ∴ AC=BC=AD=BD， ∴ 四边形ADBC是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）． 例2：证明四边形AEDF是菱形． 证明： ∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠EAD=∠FAD． ∵ DF∥AB， ∴ ∠FDA=∠EAD（两直线平行，内错角相等）． ∴ ∠FDA=∠FAD， ∴ AF=DF（等角对等边）． ∴ 四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【巩固练习】 1. 四边形EFGH是菱形． 证明： 连接AC、BD， ∵ E、F、G、H分别是矩形ABCD各边中点， ∴ EF=1/2AC，FG=1/2BD，GH=1/2AC，HE=1/2BD（三角形中位线定理）． ∵ 矩形对角线相等（AC=BD）， ∴ EF=FG=GH=HE， ∴ 四边形EFGH是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）． 2. 证明四边形ADEF是菱形． 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，即AF∥DE． ∵ EF∥AD， ∴ 四边形ADEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∵ AE平分∠BAD， ∴ ∠DAE=∠FAE． ∵ AB∥CD， ∴ ∠AED=∠FAE（两直线平行，内错角相等）． ∴ ∠DAE=∠AED， ∴ AD=DE（等角对等边）． ∴ 四边形ADEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 学科网（北京）股份有限公司 $$八下数学基础辅导讲义 第10课时：菱形（1）— 菱形的“边”“角” 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 1、菱形的“边”的性质：菱形的 且 . 用符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝__________________， _______________________． 2、菱形的“角”的性质：菱形的 . 用符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ _______________________． 【例题解析】 例1 如图，在菱形ABCD中，连接AC． （1） ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ ________∥________（ ） ∴ ∠________=∠3 （ ） ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ ________＝________（ ） ∴ ∠________=∠3 （ ） ∴ ∠________=∠ ∴ AC平分∠BAD （2） ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ ________＝________（ ） 又∵∠B=60°， ∴ △ABC是 三角形 （ ） ∴ AC= （ ） 例2 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=FD，连接AE、AF， 求证：（1）△ABE≌△ADF； （2）AE=AF， CE=CF． 【巩固练习】 1、已知在菱形ABCD中，AB=4cm，则菱形的周长为 cm． 2、菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（　　） A．60° B．15° C．30° D．90° 3、如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠DAB ∶∠ABC = 1∶2，则它的边长是 ， ∠DAB= °，∠ABC= °， BD的长为 cm． 4、如图，在菱形ABCD中，过点C分别作CE⊥AB、CF⊥AD，垂足分别为E、F， 求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）CE=CF， AE=AF． 【主要知识】 菱形的“边”的性质：菱形的四条边都相等且对边平行。 符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝BC＝CD＝DA， AB∥CD，AD∥BC． 菱形的“角”的性质：菱形的对角相等，邻角互补。 符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D；∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°． 【例题解析】 例1 （1）∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AD∥BC（菱形对边平行） ∴ ∠1=∠3 （两直线平行，内错角相等） ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝BC（菱形四条边相等） ∴ ∠2=∠3 （等边对等角） ∴ ∠1=∠2 ∴ AC平分∠BAD （2）∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝BC（菱形四条边相等） 又∵∠B=60°， ∴ △ABC是等边三角形 （有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） ∴ AC=AB（等边三角形三边相等） 例2 证明： （1）∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝AD，∠B＝∠D（菱形四条边相等，对角相等） 又∵BE=FD， ∴ △ABE≌△ADF（SAS）． （2）由（1）得△ABE≌△ADF， ∴ AE=AF（全等三角形对应边相等）． ∵ 菱形ABCD中，BC=DC（四条边相等）， 且BE=FD， ∴ BC-BE=DC-FD，即CE=CF． 【巩固练习】 16 cm（菱形周长=4×边长=4×4=16）． A．60°（对角线与边长相等，构成等边三角形，内角为60°）． 边长是4 cm，∠DAB=60°，∠ABC=120°，BD的长为4√3 cm（周长16→边长4；邻角比1:2且互补→60°和120°；BD为长对角线，由勾股定理得BD=2×√(4²-2²)=4√3）． 证明： （1）∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ BC＝DC，∠B＝∠D（菱形四条边相等，对角相等） ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴ ∠BEC=∠DFC=90°， ∴ △BCE≌△DCF（AAS）． （2）由（1）得△BCE≌△DCF， ∴ CE=CF，BE=DF（全等三角形对应边相等）． ∵ 菱形ABCD中，AB=AD（四条边相等）， ∴ AB-BE=AD-DF，即AE=AF． 学科网（北京）股份有限公司 $$八下数学基础辅导讲义 第11课时：菱形（2）— 菱形的“对角线” 姓名：__________ 辅导时间：___________ 【主要知识】 1、菱形的“对角线”的性质：菱形的对角线 . 用符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AO＝_______＝_______， BO＝_______＝_______， ⊥ ． 2、菱形面积公式：（1）； （2） ． 【例题解析】 例1 如图，已知菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的周长和面积． 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：OE=OF． 【巩固练习】 1、已知：如图，菱形ABCD中，AC=6，BD=8， 则AB的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 2、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，菱形ABCD的周长是20，BD=6． 求AC的长． 3、如图，菱形ABCD的面积等于24，对角线BD=8， 求：（1）对角线AC的长； （2）此菱形的周长． 【主要知识】 菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直且平分。 符号语言表述： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AO＝CO＝AC/2，BO＝DO＝BD/2，AC⊥BD。 菱形面积公式： （1）底×高； （2）对角线乘积的一半 【例题解析】 例1 解： ∵ 菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm， ∴ 菱形的边长 AB=5cm 周长：20cm。 面积：24cm2。 例2 证明： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 对角线AC平分∠ADC（菱形对角线平分一组对角）。 ∵ OE⊥AD，OF⊥CD， ∴ OE和OF都是点O到∠ADC两边的距离， 根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等， ∴ OE=OF。 【巩固练习】 1. 答案：AB的长为5，面积为24。 2. AC的长为8。 3. （1） AC=6。 （2）答案：（1）AC=6；（2）周长=20。 学科网（北京）股份有限公司 $$