精品解析：湖北省宜昌市长阳土家族自治县第二高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024至2025学年度春季学期长阳二中 高一年级数学学科期末考试试卷 命题人： 分值：150分 考试时间： 120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，满分40分，请将正确答案序号填涂在答题卡相应位置） 1. 复数中i为虚数单位，且，则（    ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由复数运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】是偶函数，所以A错误； 是奇函数，且在上单调递增，所以B正确； 是偶函数，所以C错误； 在和上无定义，所以D错误； 故选：B. 3. 已知向量，，满足：，，且，则为（    ） A. B. 2 C. 12 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的运算律、模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 4. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，则由题意可得，求出，从而可求出高，进而可求出圆锥的体积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得， 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积为， 故选：A. 5. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A. 若，，，则 B. 若，，， 则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由面面垂直、线面垂直的性质即可判断；对于B，由面面平行的性质即可得证；对于C，由答案不完备即可判断；对于D，由线面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，又，，则，故D正确. 故选：C. 6. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 240，18 B. 200，20 C. 240，20 D. 200，18 【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为： 故选A． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 7. 如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，若， 则λ等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量的线性运算表示出，；再根据平面向量的数量积运算得出；最后结合，，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，. 又因为E为的中点， 所以. 又因为△ABC是边长为4的等边三角形， 所以，，. 则 . 又因为，， 所以，解得：或. 故选：B 8. 在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得，进而有，再把化为并确定的范围，应用余弦函数性质求范围即可. 【详解】由，则， 所以， 则， 所以或（舍），故， 综上，，且 所以， ， 由锐角△，则，可得，则， 所以，故. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即，再把目标式，由边化角得求范围. 二、多项选择题（本大题共3小题，满分18分，每小题6分，全对得6分，部分对得部分分，选错不得分） 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（    ） A. B. z复平面上对应点在第二象限 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由复数除法、模的计算公式即可验算；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于CD，由复数乘法即可验算. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，z复平面上对应点在第四象限，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列各式中，值为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由特殊角的三角函数值直接判断即可；对于BCD，由三角恒等变换逐一验算即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， . 故选：ABC. 11. 如图所示，在正方体中，O为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A. O、M、三点共线 B. 平面 C. 直线与直线是相交关系 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由点线面的位置关系说明即可；对于B，说明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；对于C，由异面直线的定义说明即可；对于D，由二面角的定义说明二面角的平面角为，再结合余弦定理验算即可. 【详解】对于A，如图所示，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面的交线为， 又平面，平面， 所以，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 而平面，从而， 不妨设正方体棱长为1，则， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以，， 所以，所以， 又因为，平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，因为是相交的关系，是平行关系，所以直线与直线是异面关系，故C错误； 对于D，如图所示， 设正方体棱长为1，则三角形是边长为的等边三角形，三角形是腰长为1的等腰直角三角形， 取中点，所以平面，平面， 所以二面角的平面角为， 过点作，又因为面面，面， 所以面， 又因为面，所以， 而， 从而， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，满分15分，请将最终结果填写在答题卡对应处） 12. 向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由单位向量、反向向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 13. 如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由周期求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式. 【详解】解：由图可知，所以，解得， 再由函数过点，所以，所以， 解得，因为，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知四棱锥5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积. 【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示： 易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以， 可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得， 又平面，且， 设四棱锥的外接球半径为， 可得，即； 因此外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，请将必要解答过程填写在答题卡对应位置） 15. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解； （2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； 【小问2详解】 设，因为四边形为矩形，所以，， 又，，， 得， 则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. （1）求A及的周长； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，再根据正弦定理求得的值即可； （2）根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因，则， 由余弦定理得，， 因，则. 又因为，由正弦定理 得，又 ，∴. 所以的周长为. 【小问2详解】 由得，， 由（1），所以，得， 故. 17. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 【答案】（1）， （2）120分 （3）众数估计值为100分，平均数估计值为分 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率； （2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解； （3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质， 可得，解得. 所以及格率为. 【小问2详解】 得分在110分以下的学生所占比例为， 得分在130分以下的学生所占比例为， 所以第80百分位数位于内， 由，估计第80百分位数为120分. 【小问3详解】 由图可得，众数估计值为100分. 平均数估计值为（分）. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证； （3）说明为直线与平面所成的角，解三角形即可得解. 【小问1详解】 如图，取中点，连接， 由于分别为的中点，故，且， 又，可得，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面底面，， 又，，平面， 平面.又平面，， 为的中点，， 又 平面， 平面，又∴BE平面ABE， ∴PD⊥BE. 【小问3详解】 由(2)知PD⊥平面ABE， 直线在平面内射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面，底面可得，，， ∴为等腰直角三角形，且平分， ， 所以直线与平面所成的角为. 19. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步结合周期公式即可求解； （2）①通过换元，将问题转换为图象与直线在有两个交点，画出对应的图形即可得解；②根据对称性即可求解. 【小问1详解】 ， ∴的最小正周期为即为所求. 【小问2详解】 ①令，其中x与t是一一对应的， 当时，， ， 所以，如图， 要使在区间上恰有两个零点 等价于的图象与直线在有两个交点， 所以要使在区间上恰有两个零点， 的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象对称性可知， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024至2025学年度春季学期长阳二中 高一年级数学学科期末考试试卷 命题人： 分值：150分 考试时间： 120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，满分40分，请将正确答案序号填涂在答题卡相应位置） 1. 复数中i为虚数单位，且，则（    ） A. 2 B. C. D. 0 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，满足：，，且，则为（    ） A. B. 2 C. 12 D. 4 4. 已知圆锥底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A. 若，，，则 B. 若，，， 则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 240，18 B. 200，20 C. 240，20 D. 200，18 7. 如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，若， 则λ等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，满分18分，每小题6分，全对得6分，部分对得部分分，选错不得分） 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确是（    ） A. B. z复平面上对应点在第二象限 C. D. 10. 下列各式中，值为的是（    ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在正方体中，O为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A. O、M、三点共线 B. 平面 C. 直线与直线是相交关系 D. 二面角的平面角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，满分15分，请将最终结果填写在答题卡对应处） 12. 向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 13. 如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________． 14. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，请将必要解答过程填写在答题卡对应位置） 15. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角余弦值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. （1）求A及周长； （2）求的面积． 17. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$